Уважаемые посетители Портала Знаний, если Вы найдете ошибку в тексте, выделите, пожалуйста, ее мышью и нажмите Сtrl+Enter. Мы обязательно исправим текст!


Случайная цитата


Если действовать не будешь, ни к чему ума палата. (Шота Руставели)

Распределения продолжительности жизни и таблицы смертности

Введение

Вероятности, относящиеся к возрасту в момент смерти

Функция дожития

Продолжительность предстоящей жизни для лица в возрасте х

Пошаговая продолжительность предстоящей жизни

Интенсивность смертности

Таблицы смертности

Связь функций, содержащихся в таблице смертности, с функцией дожития

Пример таблицы смертности

Другие характеристики, связанные с таблицами смертности

Селекционные и заключительные таблицы

Введение

Страхование может увеличить ожидаемую полезность для лица, подвергающегося риску случайных потерь. Основой простых моделей для страховых договоров, заключенных на один временной период, являются бернуллиевские случайные величины, отражающие наступление или ненаступление страхового случая.

Наступление страхового случая в некоторых примерах приводит к другому случайному процессу, определяющему величину потерь. Существуют модели страховых систем, предназначенных для работы со случайными потерями, в которых случайность связана с тем, насколько долго будет жить некое лицо.

Основным структурным элементом подобных моделей является случайная величина, называемая продолжительностью предстоящей жизни (временем дожития)  и обозначаемая через Т(х).

Итак, изложим ряд идей, которые позволят описывать и использовать распределение как этой случайной величины, так и соответствующего ей возраста в момент смерти Х.

Покажем, как распределение случайной величины "возраст в момент смерти" можно представить посредством таблицы смертности. Эти таблицы полезны во многих областях знания. Поэтому в каждой из этих разнообразных областей, где используются таблицы смертности, была разработана свои терминология и обозначения.

Например, инженеры используют таблицы смертности для изучения надежности сложных механических и электронных систем.

В биостатистике таблицы смертности используются для сравнения эффективности различных методов лечения серьёзных заболеваний.

Демографы используют таблицы смертности как средство популяционного проектирования. Мы будем использовать таблицы смертности для построения моделей страховых систем, призванных содействовать людям, находящимся перед лицом неопределенности, связанной с моментом наступления их смерти.

Таблица смертности является незаменимой компонентой многих моделей актуарной науки. Некоторые исследователи считают датой рождения актуарной науки 1693 год. В этом году Эдмунд Галлей (E. Halley) опубликовал труд "An Estimate of the Degrees of the Mortality of Mankind, Drawn from Various of Births and Funerals at the City of Breslau" ("Оценка степени смертности человечества, выведенная из различных таблиц рождения и погребения в городе Бреславле").

Таблицы смертности, названные Бреславльскими, которые содержатся в статье Галлея, по-прежнему представляют интерес из-за удивительно современной системы обозначений и понятий.

Вероятности, относящиеся к возрасту в момент смерти

Опишем неопределенность, связанную с возрастом в момент наступления смерти, в вероятностных терминах.

Функция дожития

Рассмотрим новорожденного. Возраст в момент смерти Х для этого новорожденного является случайной величиной непрерывного типа. Обозначим через функцию распределения этой случайной величины,

и положим

Мы будем всегда предполагать, что , откуда следует, что s(0)=1.

Функция s(x) называется функцией дожития. Для любого положительного х величина s(x) является вероятностью того, что новорожденный достигнет возраста х. Распределение с.в. Х может определяться либо заданием функции распределения  либо функции s(x).

В актуарной науке и в демографии функция дожития традиционно использовалась как исходная точка для дальнейших исследований.

В теории вероятностей и в статистике такую роль играет функция распределения. Однако из свойств функции распределения мы можем вывести соответствующие свойства функции дожития.

Опираясь на вероятностные законы, мы можем формулировать вероятностные утверждения о возрасте в момент смерти в  терминах либо функции дожития, либо функции распределения.

Например, вероятность того, что новорожденный умрет в возрасте между х и z(x<z), равна

Продолжительность предстоящей жизни для лица в возрасте х

Условная вероятность того, что новорожденный умрет в возрасте между х и z при условии, что он доживет до возраста х, равна

  (2.3)

Символ (х) используется для обозначения лица возраста х. Продолжительность предстоящей жизни этого лица (х), Х - х, обозначается через Т(х).

Актуарные символы отличаются от обозначений, принятых в теории вероятностей, и читатель, возможно, с ними не знаком. Например, функция одного переменного, которая записывается в виде q(x) в вероятных обозначениях, в этой системе будет записываться в виде qx.

Аналогично, функция многих переменных записывается в актуарных обозначениях при помощи комбинации верхних и нижних индексов и иных символов.

Для формулировки вероятных утверждений о Т(х)  мы будем пользоваться обозначениями

  (2.4)

 (2.5)

Символ  можно интерпретировать как вероятность того, что (х) умрет в течение ближайших t лет. Другими словами,  является функцией распределения с.в. Т(х). С другой стороны может интерпретироваться как вероятность того, что (х) достигнет возраста х+t. Другими словами, является функцией дожития для (х). В частном случае лица в возрасте 0 мы имеем Т(0)=Х и

(2.6)

Если t=1 тот по соглашению мы можем опускать первый индекс в обозначениях, введенных формулами (2.4) и (2.5), получая

qx=P[(x) умрет в течение одного года],

px=P[(x)доживет до возраста х+1 лет].

Существует специальный символ для более общего события, состоящего в том, что (х) проживет t лет и умрет в течение последующих u лет, т.е. что (х) умрет в возрасте между x+t и  x+t+u, а именно

 (2.7)

Как и ранее, если u=1, то соответствующий нижний индекс в обозначении  опускается, и мы получаем символ .

Сейчас у нас есть два выражения для вероятности того, что (х) умрет в возрасте между х и x+u. Формула (2.7) при t=0 дает первое из этих выражений, а формула (2.3) с z=x+u - второе выражение. Будут ли эти две вероятности различными?

Формула (2.3) может интерпретироваться как условная вероятность того, что новорожденный умрет в возрасте между х и z=x+u при условии, что он доживет до возраста х.

Единственная информация о новорожденном, к настоящему моменту достигшем возраста х, состоит в том, что он дожил до этого возраста. Поэтому рассматриваемое вероятностное утверждение основано на условном распределении при условии дожития для новорожденных.

С другой стороны, формула (2.7) при t=0 определяет вероятность того, что лицо, наблюдаемое в возрасте х, умрет в возрасте между х и х+u.

Данные о лице в возрасте х могут содержать не только информацию о том, что оно дожило до этого возраста. Это может быть информация о том, что  рассматриваемое лицо прошло медицинское обследование перед заключением договора о страховании, или же о том, что это лицо только что начало курс лечения от серьезного заболевания.

Таблицы смертности в том случае, когда данные о лице в возрасте х содержат не только информацию, что новорожденный дожил до возраста х, обсуждаются в разделе 8, где для этих таблиц вводятся дополнительные обозначения.

Будем продолжать развивать теорию, предполагая, что формулы (2.3) и (2.7) не содержат смысловых различий, т.е. будем до раздела 8 считать, что информация о лице, дожившем до возраста х, дает то же условное распределение продолжительности предстоящей жизни, что и информация о дожитии новорожденного до возраста х, а именно

 (2.8)

 (2.9)

При таком подходе формула (2.7) и многие её частные случаи могут быть выражены в виде

   (2.10)

Пошаговая продолжительность предстоящей жизни

С продолжительностью предстоящей жизни связана дискретная случайная величина, определяющая число полных будущих лет, прожитых лицом (х) до смерти. Она называется пошаговой продолжительностью предстоящей жизни лица (х) и обозначается через К(х). Поскольку с.в. К(х) является наибольшим целым числом, не превосходящим Т(х), ее функция вероятностей задается выражением

k=0,1,2,...   (2.11)

Перемена неравенств местами здесь возможна, поскольку при наших предположениях о том, что распределение Т(х) непрерывно, Р[Т(х)=k]=P[T(x)=k+1]=0. Формула (2.11) является частным случаем формулы (2.7), где u=1 и k является неотрицательным целым числом. Из соотношения (2.11) следует, что функция распределения с.в. К(х) является ступенчатой функцией и

 

и k является целой частью числа у.

Часто из контекста ясно, что Т(х) является продолжительностью предстоящей жизни лица (х). В этом случае мы будем писать Т вместо Т(х). Аналогично, мы будем писать К вместо К(х).

Интенсивность смертности

Формула (2.3) выражает в терминах функции распределения и в терминах функции дожития условную вероятность того, что лицо (0) умрет в возрасте между х и z при условии, при условии, что оно доживет до возраста х.

Если разность z-x постоянна и равна, скажем с, то рассматриваемая как функция от х, эта условная вероятность описывает распределение вероятности смерти в ближайшем будущем (между моментами времени 0 и с) для лица, достигшего возраста х. Аналог этой функции, рассматривающий смерть в определенный момент, можно получить, используя плотность вероятности смерти по достижении возраста х, т.е. формулу (2.3) с ,

  ,(2.12)

В этом выражении  является функцией плотности непрерывной случайной величины "возраст в момент смерти". Функция  в формуле (2.12) может интерпретироваться в терминах условных плотностей. Для каждого возраста х она дает значение в точке х условной функции плотности с.в. Х при условии дожития до возраста х и обозначается через .

Мы получаем

   (2.13)

Из свойств функций  следует, что .

В актуарной науке и в демографии  называется интенсивностью смертности. В теории надежности, которая занимается исследованием вероятностей безотказной работы механизмов и систем, эта величина называется интенсивностью отказов.

Как и функция дожития, интенсивность смертности может использоваться для определения распределения с.в.Х. Чтобы это сделать, заменим в формуле (2.13) х на у и после некоторых преобразований получим

Интегрируя это выражение от х до х+n, получим

Потенцируя получаем

  (2.14)

Иногда удобно переписать формулу (2.14), сделав замену s=у-х:

 (2.15)

В частности, мы изменим обозначения с тем, чтобы они соответствовали использованным в формуле (2.6), положив возраст уже живших лиц равным 0 и обозначив возраст дожития через х. Тогда мы получим

 (2.16)

Кроме того,

 (2.17)

и (2.18)

Пусть  обозначает соответственно функцию распределения и функцию плотности с.в. Т(х), продолжительности предстоящей жизни лица (х). Заметим, что  (см. обозначения (2.4)). Таким образом,

  (2.19)

Значит,  является вероятностью того, что лицо (х) умрет в возрасте между t и t+dt, и

 

где в качестве верхнего предела интегрирования записано "плюс бесконечность" (это сокращенная запись интегрирования по всей области изменения функции плотности, лежащей на положительной полуоси).

Из формулы (2.19) следует, что

  (2.20)

Эта эквивалентная форма бывает полезной в некоторых рассуждениях актуарной математики.

Поскольку  мы имеем . Таким образом

В нижней половине таблицы 2.1. собраны некоторые соотношения между стандартными функциями теории вероятностей и функциями, характерными для приложений, связанных с возрастом в момент смерти.

Можно привести много примеров, когда соотношения, связанные с возрастом в момент смерти, можно переформулировать в более общих вероятностных терминах. Следующий пример это иллюстрирует.

Пример 2.1. Если  обозначает дополнение события А в некотором выборочном пространстве и если , то следующее соотношение является вероятностным тождеством

Перепишем это тождество в актуарных обозначениях для событий

.

Решение. Вероятность переписывается в виде  превращается в 

Таким образом, мы получаем 

Таблица 2.1. Некоторые функции для с.в. Х, возраста в момент смерти

Таблицы смертности

Публикуемая таблица смертности обычно содержит расположенные по возрастам индивидуумов значения основных функций и, возможно, дополнительных функций, получаемых из них.

Перед тем как представить такую таблицу, рассмотрим интерпретацию таких функций, которая непосредственно связана с вероятностными функциями, обсуждавшимися в разделе 2.

Связь функций, содержащихся в таблице смертности, с функцией дожития

В формуле (2.9) мы выразили условную вероятность того, что лицо (х) умрет в течение t лет, следующим образом:

и, в частности,

Рассмотрим теперь группу из l0 новорожденных, положив, например, l0=100 000. Для каждого новорожденного случайная величина "возраст в момент смерти" имеет распределение, заданное функцией дожития s(x). Будем обозначать через L(x) число лиц в группе, доживших до возраста х. Припишем всем лицам в группе номера j=1,2,3,...,l0 и заметим, что

где  является индикатором дожития лица с номером j, т.е.

Так как E[Ij] = s(x), то 

Мы обозначим Е[λ(х)] через lx , это означает, что lx — математическое ожидание числа доживших до возраста х из l0 новорожденных, и мы имеем

       (3.1)

Далее, в предположении, что индикаторы IJ взаимно независимы, λ(х) имеет биномиальное распределение с параметрами n= l0 и р = s ( x ). Отметим, однако, что в равенстве (3.1) не требуется предположения о независимости.

Аналогично, обозначим через ПDX число умерших в возрасте между х и х + п из начальной совокупности, состоящей из l0 лиц.

Мы обозначаем Е[ПDX] через ПdX .

Поскольку для новорожденного вероятность смерти в возрасте между х и х + п равна s ( x ) - s ( x + n), используя рассуждения, приводившиеся выше относительно lx , получим

     (3.2)

Если n = 1, мы опускаем левый нижний индекс в выражениях ПDX и ПdX.

Из формулы (3.1) видно, что

и (3.3)

      (3.4)

Поскольку

сомножитель lxμ(х) в (3.4) можно интерпретировать как ожидаемую плотность смертей в возрастном интервале (х,х + dх). Заметим, далее, что

,      (3.5)

,    (3.6)

      (3.7)

Для удобства ссылок мы будем называть группу из l0 новорожденных, каждый из которых имеет функцию дожития s ( x ), совокупностью случайного дожития.

Пример таблицы смертности

В приводимой ниже табл. 3.1, которая называется «Таблица смертности населения: США, 1979-1981», функции tqX ,lx , tdX представлены для l0 = 100000.

За исключением первого года жизни, значение t в табулируемых функциях tqX и tdX равно 1. Другие функции, содержащиеся в этой таблице, рассматриваются в разд. 3.5.

Эта таблица создавалась не на основе наблюдений за 100000 новорожденными вплоть до смерти последнего из них. Она была основана на оценках вероятностей смерти при условии дожития до различных возрастов, полученных из данных о народонаселении США в годы, близкие к 1980-му году, году переписи населения.

Используя понятие совокупности случайного дожития, мы должны сделать предполoжение, что вероятности, полученные на основе этой таблицы, будут соответствовать продолжительности жизни тех, кто принадлежит к этой совокупности дожития.

Полезно сделать ряд замечаний относительно приведенной таблицы.

Замечания.

• Ожидается, что примерно 1% новорожденных, входящих в совокупность дожития, умрет на первом году жизни.

•  Следует ожидать, что примерно 77% из группы новорожденных доживет до возраста 65 лет.

•  Максимальное число смертей в группе ожидается в возрасте между 83 и 84 годами.

• Известно мало случаев, когда смерть наступает в возрасте свыше 110 лет. Поэтому часто предполагается, что существует такой возраст w , что s ( x ) > 0 для x < w и s ( x ) = 0 для x>= w .

Если существование такого возраста w предполагается, то он называется предельным возрастом . Для приведенной таблицы предельный возраст не определен. Очевидно, имеется положительная вероятность дожить до 110 лет, но таблица не содержит указаний на возраст w .

•  Локальные минимумы для ожидаемого числа смертей расположены в районе 11 и 27 лет, а локальный максимум — в районе 24 лет.

•  Хотя значения lx были округлены до целых чисел, в соответствии с формулой (3.3.1) делать это не обязательно.

Такое представление информации, как табл. 3.1, является стандартным методом описания распределения возраста в момент смерти.

Другим способом является представление функции дожития в аналитической форме, такой, как s(x)=e-cx , c>0 , x>=0. Однако большинство исследований смертности среди людей для нужд страхования использует представление s ( x ) — l0x / lx , что иллюстрируется табл.3.1.

Поскольку величина 100000s(x) представлена только для целых значений х, при вычислении s(x) для нецелых значений аргумента необходимо прибегать к интерполяции. Этот вопрос обсуждается в разд. 3.6.

Пример 3.1. Используя табл. 3.1, вычислим вероятность того, что лицо (20)

1)  доживет до возраста 100,

2)  умрет, не доживя до 70 лет,

3)  умрет в десятой декаде своей жизни.

Решение.

1)  

2)  

3)  

Чтобы оценить роль таблиц смертности, рассмотрим рис. 3.1, 3.2 и 3.3. Они отражают текущую смертность народонаселения, а не данные, приведенные в табл. 3.1.

На рис. 3.1 надо обратить внимание на следующее:

• интенсивность смертности положительна, и требование , очевидно, выполнено

• интенсивность смертности довольно высока на начальном этапе, а затем резко снижается до минимума в окрестности возраста 10 лет.

На рис. 3.2 и 3.3 надо обратить внимание на следующее:

•  функция lxμ(x) пропорциональна функции плотности с.в. «возраст в момент смерти» для новорожденного. Поскольку lxμ(x) является ожидаемой плотностью смертей в возрасте х, когда речь идет о совокупности случайного дожития, график функции lxμ(x) называется кривой смертности.

•  функция lxμ(x) имеет локальный минимум в окрестности возраста 10 лет. Мода распределения смертей, т. е. возраст, в котором реализуется максимум кривой смертности, находится в районе 80 лет.

•  функция lx пропорциональна функции дожития lxμ(x). Ее также можно интер­претировать как ожидаемое число доживших до возраста х из всей исходной группы, состоявшей из l0 лиц.

•  точки локального экстремума функции lxμ(x) соответствуют точкам пере­гиба функции lx, поскольку

4. Совокупность детерминированного дожития

Перейдем ко второй, невероятностной, интерпретации таблиц смертности. С точки зрения математики она восходит к понятию коэффициента выбытия (отрицательного роста) и потому связана с приложениями к задачам о скорости роста в биологии и в экономике. Она по природе детерминистическая и приводит к понятию совокупности детерминированного дожития, или когорты.

Совокупность детерминированного дожития, как вытекает из таблицы смертности, имеет следующие характеристики:

•  изначально она состоит из l0 лиц возраста 0.

• для членов совокупности в любом возрасте действуют фактические годовые коэффициенты смертности (выбытия), которые определяются величинами qx в таблице смертности.

• совокупность является замкнутой. В нее не может входить никто, кроме тех l0 лиц, которые находились в ней в самом начале. Выход из этой совокупности обусловлен фактическими годовыми коэффициентами смертности (выбытия) и только ими.

Из приведенных характеристик вытекает, что

…………………………..                                            (4.1)

где lx обозначает число лиц, доживших до возраста х в совокупности дожития. Эта цепочка равенств, порожденная числом l0, называемым корнем таблицы смертно­сти, и множеством значений qx , может быть переписана в виде

,

,

…………..                                              (4.2)

Между совокупностью детерминированного дожития и моделью сложных процентов имеется аналогия, некоторые положения которой суммируются в табл. 4.1.

Таблица 4.1. Понятия теории сложных процентов и соответствующие им понятия в теории совокупностей детерминированного дожития

Сложные проценты

Совокупность дожития

A ( t )=Величина капитала в момент времени t , время измеряется в годах

lx =Размер группы возраста x , возраст измеряется в годах

Эффективная годовая процентная ставка (приращения)

Фактический годовой коэффициент смертности (выбытия)

Эффективная n -летняя процентная ставка, начиная с времени t

Фактический –летний коэффициент смертности, начиная с возраста х

Интенсивность счисления процента в момент времени t

Интенсивность смерти в возрасте х

Заголовки к столбцам табл. 3.1 для tqx ,lx, tdx относятся к совокупности детерминированного дожития. Хотя математические основы для совокупностей случайного и детерминированного дожития различны, функции tqx ,lx, tdx имеют одинаковые математические свойства и анализируются одинаково.

Понятие совокупности случайного дожития имеет то преимущество, что позволяет пользоваться всем аппаратом теории вероятностей. Совокупность детерминированного дожития концептуально проще и ее легче использовать, но она не отражает случайных колебаний числа доживших до определенного возраста.

Другие характеристики, связанные с таблицами смертности

Выведем выражения для некоторых общеупотребительных характеристик распределений с.в. T(х) и K(х) и введем общий метод вычислений некоторых из этих характеристик.

Характеристики

Математическое ожидание с.в. Т(х), обозначаемое через èx, называется полной ожидаемой продолжительностью жизни. Используя интегрирование по частям, мы получим

           (5.1)

Из существования E [T(x)] следует соотношение . Таким образом,

     (5.2)

Полная ожидаемая продолжительность жизни в различных возрастах часто используется для сравнения уровней общественного здравоохранения различных стран. Аналогичное интегрирование по частям дает эквивалентное выражение для E [T(x)2] :

        (5.3)

Этот результат полезен для вычисления D [ T ( x )] по формуле

         (5.4)

Во всех приведенных выкладках мы предполагали, что E [T(x)] и E [T(x)2] существуют. Можно построить функцию дожития s ( x ) = (1 + х) -1 , для которой это будет не так.

Можно определить другие характеристики распределения с.в. Т(х). Медиану продолжительности предстоящей жизни лица (x), которая обозначается через m ( x ) , можно найти как решение уравнения

или 

относительно m (х). В частности, m(0) является решением уравнения s [m (0)] = 1/2. Мы также можем найти моду распределения с.в. Т(х), указав значение t , которое доставляет максимальное значение функции tPxμ(x+t) .

Математическое ожидание с.в. К(х) обозначается через еx . Эта величина называется пошаговой ожидаемой продолжительностью жизни. Применяя определение и описанное в приложении 5 суммирование по частям, мы получаем

     (5.6)

Снова из существования E [ K ( x )] следует соотношение limkk–> ∞(- kpx )=0 . Таким образом, проведя замену переменной, по которой проводится суммирование, имеем

      (5.7)

Повторяя рассуждения, проведенные для непрерывной модели, и пользуясь формулой суммирования по частям, получаем

      (5.8)

Из существования Е[ K ( x )2 ] вытекает соотношение limkk–> ∞k2(- kpx )=0 .Проведя замену переменной, по которой производится суммирование, получаем

        (5.9)

Далее ,

         (5.10)

Для завершения обсуждения некоторых компонент табл. 3.1 мы должны ввести дополнительные функции. Символ L2 обозначает общее ожидаемое число лет, прожитых между возрастами x и x + 1 дожившими до возраста х лицами из исходной группы, содержавшей lo новорожденных. Мы имеем

     (5.11)

где интеграл в правой части равен числу лет, прожитых теми, кто умер в возрастном интервале между х и х+1, a lx+1 равно числу лет, прожитых в возрастном интервале между х и х + 1 теми, кто дожил до возраста х + 1.

Интегрирование по частям дает

       (5.12)

Функция Lx также используется в определении повозрастного коэффициента смертности в интервале между х и х + 1, который обозначается через mx , где

      (5.13)

Приведенные выше определения для mx и Lx можно распространить на воз­ растные интервалы длины, отличной от единицы:

      (5.14)

       (5.15)

Для совокупности случайного дожития nLx является общим ожидаемым числом лет, которые прожиты в возрастном интервале между х и х + n дожившими до возраста ж лицами из исходной группы, содержавшей l о новорожденных, а nmx является повозрастным коэффициентом смертности, наблюдавшимся в этой группе на интервале (х, х + n).

Символ Tx обозначает общее число лет, прожитых после достижения возраста х лицами, дожившими до этого возраста, из исходной группы, содержавшей l0 новорожденных. Мы имеем

      (5.16)

Последнее выражение можно интерпретировать как интеграл от общего времени, прожитого между возрастами x + t и x + t + dt группой из lx+t лиц, которые дожили до этого возрастного интервала. Обратим также внимание, что Tx является пределом величины nLx , когда n стремится к бесконечности.

Среднее число лет предстоящей жизни для lx лиц из группы, доживших до возраста x, определяется выражением

 в соответствии с формулами (5.1) и (5.2).

Мы можем найти выражение для среднего числа лет, прожитых между возрастами х и х + n группой из lx лиц, доживших до возраста х:

       (5.17)

Эта функция является усеченной (на n-летнем интервале) полной ожидаемой продолжительностью жизни для лиц (х) и обозначается через  .

Последней функцией, связанной с описанной в этом разделе интерпретацией таблицы смертности, является среднее число лет, прожитых между возрастами х и х + 1 теми лицами в группе доживших до возраста х, которые умирают в некоторый момент между этими возрастами. Эта функция обозначается через α(х) и определяется соотношением

      (5.18)

При вероятностном взгляде на таблицы смертности мы получили бы

Если мы предполагаем, что

т. е. если моменты смерти равномерно распределены внутри годичного возрастного интервала, то мы получим

Это обычное приближение функции α(х), пригодное для лиц всех возрастов, кроме совсем юных и очень старых, где, как показывает рис. 3.2, это предположение может не соответствовать действительности.

Пример 5.1. Покажем, что

Решение. Из (5.11), (5.12) и (5.18) мы получаем

или

Формулу  можно обосновать, приближая интеграл в (5.12) с помощью формулы трапеций

5.2. Рекуррентные формулы

Пример 5.1 иллюстрирует применение численного анализа для нахождения характеристик таблиц смертности. Для приближенного интегрирования используется формула трапеций.

Для иллюстрации другого вычислительного метода, который использует рекуррентные формулы, рассмотрим вычисление полных и пошаговых ожидаемых продолжительностей жизни. При применении рекуррентных формул будем использовать одну из двух следующих форм:

обратная рекуррентная формула

     (5.19)

или

прямая рекуррентная формула

      (5.20)

Переменная х обычно принимает целые неотрицательные значения.

Таблица 5.1. Обратные рекуррентные формулы для ex и 

Для вычисления функции u(х) при целых неотрицательных значениях х нам нужно знать соответствующие значения функций с(х) и d(x) и начальное значение функции и(х) . Эта процедура используется в последующих главах и иллюстрируется в табл. 3.5.1, где для вычисления ex и применяются обратные рекуррентные формулы.

6. Предположения для дробных возрастов

Ранее мы обсуждали непрерывную случайную величину Т, продолжительность предстоящей жизни, и дискретную случайную величину К, пошаговую продолжительность предстоящей жизни.

Таблица смертности, представленная в разделе 3, полностью определяет распределение вероятностей с.в. К. Для определения распределения с.в. Т мы должны постулировать некоторую аналитическую форму или основываться на таблице смертности, приняв некоторое предположение о структуре распределения между целыми точками.

Рассмотрим три широко используемых в актуарной науке предположения. Они будут сформулированы в терминах функции дожития и в такой форме, которая позволяет показать природу интерполяции на интервале (х,х + 1), вытекающую из каждого из этих предположений. В каждом утверждении х является целым и 0<=t<=1. Сформулируем предположения:

•  Линейная интерполяция: s(x + t) = (1 — t) s (x) + t s(x + 1). Это приводит к равномерному распределению или, точнее, к равномерному распределению моментов смерти внутри каждого годичного возрастного интервала. При этом предположении tPxявляется линейной функцией.

•  Показательная интерполяция, или линейная интерполяция для ln(s(x + t) : ln(s(x - 1)) = (1 — t)ln(s ( x ) + t ln(s ( x + 1)). Это согласуется с предположением о постоянной интенсивности смертности внутри каждого годичного возрастного интервала. При этом предположении tPxявляется показательной функцией.

•  Гармоническая интерполяция: ln(x + t) = (l — t)ln(s(x))+ t ln(s( x+ l)). Это то, что называется предположением о гиперболичности (исторически, предположением Балъдуччи, поскольку в этом случае tPxявляется гиперболической кривой.

Опираясь на эти основные определения, для остальных стандартных вероятностных функций можно вывести формулы в терминах вероятностей, указанных в таблице смертности.

Такие результаты представлены в табл. 6.1. Заметим, что мы с тем же успехом могли бы сформулировать эквивалентные определения в терминах функции плотности, функции распределения или интенсивности смертности.

Вывод выражений, входящих в табл. 6.1, является просто упражнением, заключающимся в подстановке сформулированных выше предположений о s(x + t) в соответствующие формулы разделах 2 и 3. Мы продемонстрируем этот процесс для равномерного распределения смертей. Для определения первого выражения в столбце, относящемся к равномерному распределению, начнем с соотношения

а затем подставим соответствующее выражение для s( x + t ) и получим

Для второго выражения воспользуемся формулой (2.13) и

далее, подставляя соответствующее выражение для s( x + t), получаем

Деление числителя и знаменателя в правой части на s( x ) приводит к формуле

Третье выражение является частным случаем четвертого при у = 1 — t . Рассматривая четвертое выражение, начнем с равенства

затем, подставив соответствующее выражение для s( x + t) и s(x + t + у) , получим

Пятое выражение является дополнением первого, и последнее выражение в столбце, относящемся к равномерному распределению, является произведением второго и пятого выражений.

Таблица 6.1. Вероятностные функции для дробных возрастов

Если, как и ранее, х является целым числом, то анализ можно провести, введя случайную величину S = S( x ), такую, что

T=K+S    (6.1)

Где Т является продолжительностью предстоящей жизни, К — пошаговой продолжительностью предстоящей жизни, a S — случайной величиной, представляющей прожитую дробную часть года, в котором наступила смерть.

Поскольку К является неотрицательной целочисленной случайной величиной, a S — случайной величиной непрерывного типа, вся масса которой сосредоточена на интервале (0,1), мы можем исследовать их совместное распределение, записав

P[(K = k)∧(S<=s)]=-P(k<T^k + s) = kPx sPx+k .

Теперь, воспользовавшись выражением для s q x +k в предположении равномер­ности распределения, как показано в табл. 6.1, получим

P[(K = k)∧(S<=s)] = kPx sPx+k = k|qxs = P(K = k)P(S<=s)... (6.2)

Таким образом, совместное распределение св. К и S может быть разложено на произведение маргинальных распределений с.в. К и S. Поэтому в предположении равномерности распределения моментов смерти с.в. К и S оказываются независи­мыми. Поскольку распределение P(S<=s) = s является равномерным на (0,1), св. S имеет именно такое равномерное распределение.

Пример 6.1. Будут ли св. К и S независимыми в предположении постоянной интенсивности смертности?

Решение. Воспользовавшись информацией из табл. 6.1, относящейся к пред- пол ожению о постоянной интенсивности смертности, мы получаем

P[(K = k)∧(S<=s)] = kPx sPx+k = kPx [1 - (рx+k)s ]

Для обсуждения этого результата будем различать два случая:

•  если в выражение для рx+kвходит к , то мы не можем представить совместное распределение св. К и S в виде произведения маргинальных распределений. Отсюда мы делаем вывод, что с.в. К и S не являются независимыми.

•  в частном случае, когда рx+k = рx— константа,

Для этого частного случая мы получаем, что с.в. К и S оказываются независимыми в предположении постоянной интенсивности смертности. Ў

Пример 6.2. Покажем, что в предположении равномерности распределения смертей

Решение. (a)

(b) D[T] = D[K+S]. Из независимости св. К и 5 в предположении равномерности распределения смертей получаем D[T] = D[K] + D[S]. Далее, поскольку с.в. S равномерно распределена на (0,1), D[T] = D[K] + 1/2. Ў

7. Некоторые аналитические законы смертности

Имеется три основных аргумента в пользу принятия аналитического выражения для функции смертности или для функции дожития.

Первый — философский. Многие явления, изучавшиеся в физике, можно эффективно объяснить с помощью простых формул. Поэтому, основываясь на биологических соображениях, некоторые авторы предположили, что дожитие в человеческом сообществе управляется такими же простыми законами.

Второй аргумент — практический. Функция с несколькими параметрами легче воспринимается, чем таблица смертности с, возможно, 100 параметрами или вероятностями смерти.

Кроме того, некоторые из аналитических выражений обладают простыми свойствами, которые удобны при выводе вероятностных утверждений, касающихся более чем одного лица.

Третий аргумент для простых аналитических функций дожития — легкость оценивания параметров этой функции на основе данных о смертности.

В последние годы энтузиазм в отношении простых аналитических функций дожития существенно уменьшился. Многие полагают, что вера в универсальные законы смертности наивна. При все увеличивающемся быстродействии и объеме памяти компьютеров преимущества некоторых аналитических выражений при проведении вычислений, касающихся более чем одного лица, уже не играют значительной роли.

Однако в результате некоторых недавних исследований оживились биологические аргументы в поддержку аналитических законов смертности.

В табл. 7.1 приводятся несколько семейств простых аналитических функций смертности и дожития, соответствующих различным известным законам. Для удобства ссылок указаны названия законов, лежащих в их основе, и даты публикации.

Таблица 7.1. Функции смертности и дожития для различных распределений

Исходное распределение

μ(x)

s(x)

Ограничения

Де Муавр (1729)

(ω-x)-1

1-x/ω

0 <= x<ω

Гомперц (1825)

Всx

ехр[-m(сx-1)]

В > 0, с > 1, х>О

Мейкем (1860)

А+Всx

ехр[-Аx-m(сx-1)]

В > 0, А >= -В, с > 1, x>0

Вейбулл (1939)

kxn

exp(-uxn+1 )

k>0, n>0, x>=0

Отметим следующие факты:

•  специальные символы определяются формулами m =B/ln(c), u=k/(n+1).

•  закон Гомперца является частным случаем закона Мейкема при А = 0.

•  если с = 1 в законах Гомперца и Мейкема, то мы приходим к показательному (постоянная интенсивность смертности) распределению.

•  при рассмотрении закона Мейкема считалось, что константа А отвечает несчастному случаю, а выражение Всx— старению.

Выражения в столбце s(x) табл. 7.1 были получены подстановкой в (2.16). Например, для закона Мейкема

где m = В/ In с.

Селекционные и заключительные таблицы

В разд. 2 рассматривалось, как можно двумя способами интерпретировать величину tPx, вероятность того, что лицо (х) доживет до возраста х + t.

Первая интерпретация состояла в том, что эту вероятность можно вычислить на основе функции дожития для новорожденных при единственном предположении, что новорожденный доживет до возраста х. Эта интерпретация стала основой для обозначений и для выведения формул.

Вторая интерпретация состояла в том, что дополнительная информация о лице возраста х может сделать исходную функцию дожития непригодной для вычисления вероятностных утверждений о продолжительности предстоящей жизни лица (х) .

Например, некоторое лицо может пройти обследование и быть принятым на страхование в возрасте х. Наличие этой информации позволило бы считать, что распределение продолжительности предстоящей жизни лица (x) отличается от того, которое мы считали бы подходящим для лица возраста х, если бы не располагали этой информацией.

Второй пример: некоторое лицо может стать инвалидом в возрасте х. Эта информация позволяет нам предполагать, что распределение продолжительности предстоящей жизни лица (х) отлично от соответствующего распределения для лица, не ставшего инвалидом в возрасте х.

В этих двух примерах следует отдать предпочтение специальной интенсивности смертности, учитывающей конкретную информацию, которая становится известной в возрасте х. Без этой конкретной информации об (х) интенсивность смертности по прошествии времени t будет функцией только достигнутого возраста х + t, что в предыдущем разделе обозначалось через μ(х + t ).

Если известна дополнительная информация в момент х , то интенсивность смертности в момент х + tявляется функцией этой информации в момент х и величины t . Мы будем обозначать ее через μx(t), где отдельно указывается возраст х, в котором была доступна дополнительная информация, и величина t . Сама дополнительная информация в явной форме в это обозначение не входит, но ясна из контекста.

Другими словами, полная модель для таких лиц является набором функций дожития, по одной для каждого возраста, в котором имеется информация о принятии на страхование, об инвалидности и т. п. Это множество функций дожития можно воспринимать как функцию двух переменных.

Одна переменная — возраст в момент селекции (например, в момент выдачи страхового договора или наступления инвалидности) [х] и вторая переменная — время, прошедшее с момента выдачи договора или с момента селекции t . Тогда каждая из обычных функций таблицы смертности, отвечающая такой функции от двух пере­ менных, является двумерным массивом по [х] и t .

Мы используем здесь квадратные скобки, чтобы отметить переменную, относящуюся к возрасту, в котором проводи­лась селекция. Когда наличие селекции явствует из интенсивности смертности, мы будем опускать квадратные скобки, чтобы не усложнять обозначения.

Схематическая диаграмма на рис. 8.1 иллюстрирует эти соображения. Например, предположим, что имеется некоторая специальная информация о группе лиц возозраста 30 лет. Может быть, они были приняты на страхование, а может быть, стали инвалидами.

Для этих лиц можно построить специальную таблицу смертности.  Условная вероятность смерти в каждый год с момента селекции будет обозначаться q[30]+i i = 0,1,2,..., и будет входить в первую строку на рис. 8.1. Индекс сражает двумерную природу этой функции, где в квадратные скобки заключен возраст тридцать лет, [30], т. е. функция дожития в первой строке опирается на специфическую информацию, имеющуюся в возрасте 30 лет.

Вторая строка на рис. 8.1 будет содержать вероятности смерти для лиц, относительно которых специфическая информация стала известной к возрасту 31. В актуарной науке такая двумерная таблица смертности называется селекционной таблицей смертности

 путь для совокупности дожития, прошедшей сеекцию в возрасте [х]

 линия, связывающая ячейки для лиц, достигших одинакового возраста, по прошествии 15 лет с момента селекции

 другой путь для совокупности дожития по прошествии 15 лет с момента селекции; эти вероятности составляют заключительную таблицу смертности

Рис. 8.1. Селекционная, заключительная и агрегативная смертность, 15-летний период селекции

Замечания

•  в биостатистике индекс [х] селекционной таблицы не обязан быть возрастом. Например, в исследованиях онкологических заболеваний [х] может быть классификационным индексом, который зависит от размера и местоположения опухоли, и время после селекции будет отсчитываться от момента постановки диагноза.

•  заключительную смертность, после 15-летнего периода селекции, для возраста [x] + 15 следует оценивать, используя наблюдения из всех ячеек, вида [х — j]+ 15 + j , j = 0,1,2,.... Поэтому q[x]+15 = qx+15оценивается взвешенным средним оценок смертности по различным группам селекции. Если эффект селекции достаточно ве­ 
лик, то на получаемую оценку будут влиять данные из различных ячеек.

Влияние селекции на распределение продолжительности предстоящей жизни Т может уменьшаться по мере удаления от момента селекции. Вне некоторого времен­ ного интервала величины q для лиц одинакового возраста будут по существу равны вне зависимости от возраста в момент селекции.

Точнее, если имеется наименьшее целое число r, такое, что |q[x]+r-q[x-j]+r+j| меньше, чем некоторая маленькая положительная постоянная, для всех возрастов селекции [х] и для всех j > 0, то было бы экономично построить множество селекционных и заключительных таблиц, срезая двумерный массив после колонки r + 1.

Для временных интервалов, превосходящих г, мы можем использовать соотношение

Первые r лет после момента селекции составляют период селекции.

Получающийся массив содержит некоторое множество таблиц смертности, по одной на каждый возраст селекции, причем для одного возраста селекции элементы таблицы смертности расположены по горизонтали в течение периода селекции, а затем по вертикали в заключительный период. Это показано на рис. 8.1 стрелками.

В исследованиях смертности, проводившихся Обществом актуариев для лиц, которые были застрахованы по стандартному договору индивидуального страхования жизни, использовался 15-летний период селекции (см. рис. 8.1), т. е. считается, что

За пределами периода селекции вероятности смерти снабжаются одним индексом, достигнутым возрастом, т.е. вместо q[x-j]+r+jпишется qx+r - Например, при r = 15 и вместо q[30]+15 и вместо q[25]+20 пишется q45.

Таблица смертности, в которой функции даются только для достигнутых возрастов, называется агрегативной таблицей. Такой, например, является табл. 3.1. Последний столбец в селекционной и заключительной таблице является специальной агрегативной таблицей, которая обычно называется заключительной таблицей, что отражает использование селекции.

Таблица 8.1 содержит вероятности смерти и соответствующие значения функ­ций l[x]+ k из издания «Permanent Assurances , Females , 1979-82, Tables», опубликованного Институтом и факультетом актуариев Великобритании.

Ее называют таблицей AF 80. У этой таблицы двухлетний период селекции, и ее проще использовать для иллюстраций, чем таблицы с 15-летним периодом, такие, как «Основные таблицы», опубликованные Обществом актуариев США.

Таблица 8.1. Выдержка из селекционной и заключительной таблицы AF 80


(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

[x]

1000q[x]

1000q[x]+1

1000qx+2

lx

lx+1

lx+2

x+2

30

0,222

0,330

0,422

9906,7380

9904,5387

9901,2702

32

31

0,234

0,352

0,459

9902,8941

9900,5769

9897,0919

33

32

0,250

0,377

0,500

9898,7547

9896,2800

9892,5491

34

33

0,269

0,407

0,545

9894,2903

9891,6287

9887,6028

35

34

0,291

0,441

0,596

9889,4519

9886,5741

9882,2141

36

В табл. 8.1 мы имеем три вероятности смертности для возраста 32, а именно

q[32] = 0,000250 < q[31]+1 = 0,000352 < q32= 0,000422.

Упорядочение этих вероятностей понятно, поскольку смертность для лиц, только что принятых на страхование на случай смерти, должна быть ниже. Можно считать, что столбец (3) предоставляет информацию о заключительных вероятностях смертности.

Если заданы одногодичные коэффициенты смертности в селекционной и заключительной таблице, то построение соответствующей селекционной и заключительной таблицы смертности (функций дожития) начинается с заключительной части.

Далее могут использоваться такие формулы, как (4.1), которые дадут множество величин lx+r=l[x]+r, r является длиной периода селекции. Мы завершим рассмотрение селекционных частей, воспользовавшись соотношениями

двигаясь от r — 1 к 0.

Пример 8.1. Воспользовавшись табл. 8.1, вычислим:

Решение.Формулы, полученные ранее, можно приспособить к селекционным и заключительным таблицам, получив


В начало

Содержание портала

Курсы по актуарной математике