Проверка гипотезы для коэффициента корреляции
Вычисление уровня значимости коэффициента корреляции
Построение доверительного интервала для коэффициента корреляции
Пусть r обозначает выборочный коэффициент корреляции, полученный по извлеченным из двумерного нормального распределения пар наблюдений (x1, y1),…,(xn, yn).
Коэффициент корреляции в популяции неизвестен, но может быть оценен по выборке с помощью выборочного коэффициента корреляции r:
(1)
где оценки среднего равны:
.
Проверим значимость коэффициента корреляции.
Нулевая гипотеза состоит в том, что коэффициент корреляции равен нулю, альтернативная - не равен нулю:
Очевидно, достаточно большое по абсолютной величине значение величины r будет стремиться опровергнуть нулевую гипотезу.
Возникает вопрос.
Насколько большое должно быть абсолютное значение величины r?
Для того чтобы проверить гипотезу, мы должны знать распределение величины r.
Собственное распределение величины r довольно сложное, поэтому мы применим преобразование:
(2)
Итак, выборочное распределение этой статистики есть распределение Стьюдента с n-2 степенями свободы.
При заданном уровне значимости (α) определяем критическое значение tкр.
Принимаем решение об отклонении или не отклонении нулевой гипотезы:
- отклоняем H0
- не отклоняем H0
Для определения фактического уровня значимости коэффициента корреляции запишем:
Где Т подчиняется распределению Стьюдента с n-2 степенями свободы, а значение величины t вычисляется в соответствии с формулой (2).
Вычисление уровня значимости эквивалентно определению площади под правым и левым хвостами функции, ограниченной значениями -t и t.
Распределение выборочного коэффициента корреляции сложное, поэтому часто пользуются преобразованием Фишера для аппроксимации точного распределения коэффициента корреляции.
При больших значениях n распределение выборочного коэффициента корреляции r стремится к нормальному z.
Преобразование Фишера:
Для преобразованного z стандартная ошибка среднего равна
Таким образом, двусторонний доверительный интервал для z будет определяться:
Нижняя граница:
Верхняя граница:
Для и
получаем интервал
Для построения доверительного интервала для коэффициента корреляции сделаем обратное преобразование, получим:
Связанные определения:
Выборочный коэффициент корреляции
Корреляционный анализ
Корреляция
Коэффициент корреляции
Некоррелированный
Скачать
Актуальные курсы