Значимость коэффициента корреляции, доверительный интервал

Проверка гипотезы для коэффициента корреляции

Вычисление уровня значимости коэффициента корреляции

Построение доверительного интервала для коэффициента корреляции

Проверка гипотезы для коэффициента корреляции

Пусть r обозначает выборочный коэффициент корреляции, полученный по извлеченным из двумерного нормального распределения пар наблюдений (x₁, y₁),…,(x_n, y_n).

Коэффициент корреляции  в популяции неизвестен, но может быть оценен по выборке с помощью выборочного коэффициента корреляции r:

(1)

где оценки среднего равны:

.

Проверим значимость коэффициента корреляции. 

Нулевая гипотеза состоит в том, что коэффициент корреляции равен нулю, альтернативная - не равен нулю:

Очевидно, достаточно большое по абсолютной величине значение величины r будет стремиться опровергнуть нулевую гипотезу.

Возникает вопрос.

Насколько большое должно быть абсолютное значение величины r?

Для того чтобы проверить гипотезу, мы должны знать распределение величины r.

Собственное распределение величины r довольно сложное, поэтому мы применим преобразование:

     (2)

Итак, выборочное распределение этой статистики есть распределение Стьюдента с n-2 степенями свободы.

При заданном уровне значимости (α) определяем критическое значение t_кр.

Принимаем решение об отклонении или не отклонении нулевой гипотезы:

- отклоняем H₀

  - не отклоняем H₀

Вычисление уровня значимости коэффициента корреляции

Для определения фактического уровня значимости коэффициента корреляции запишем:

Где Т подчиняется распределению Стьюдента с n-2 степенями свободы, а значение величины t вычисляется в соответствии с формулой (2).

Вычисление уровня значимости эквивалентно определению площади под правым и левым хвостами функции, ограниченной значениями -t и t.

Построение доверительного интервала для коэффициента корреляции

Распределение выборочного коэффициента корреляции сложное, поэтому часто пользуются преобразованием Фишера для аппроксимации точного распределения коэффициента корреляции.

При больших значениях n распределение выборочного коэффициента корреляции r стремится к нормальному z.

Преобразование Фишера:

Для преобразованного z стандартная ошибка среднего равна 

Таким образом, двусторонний доверительный интервал для z будет определяться:

Нижняя граница: 

Верхняя граница: 

Для и получаем интервал

Для построения доверительного интервала для коэффициента корреляции сделаем обратное преобразование, получим:

Связанные определения:
Выборочный коэффициент корреляции
Корреляционный анализ
Корреляция
Коэффициент корреляции
Некоррелированный

В начало

Содержание портала