Представленная задача часто возникает на практике.
Представьте себе, что имеется n приборов, предназначенных для измерения некоторой величины .
Например, может быть расстоянием до объекта (представьте, что измерения проводятся из космоса), весом детали, линейными размерами и т.д.
Пусть каждый прибор допускает ошибку, показывая величину вместо истинного значения
.
Возникает задача объединения этих приборов в один комплекс таким образом, чтобы показания «комплексного прибора» давали наименьшую ошибку:
.
Наметим общий план решения задачи.
Ясно, что при обработке ошибок измерения нужно сначала исключить из имеющихся данных
саму (неизвестную) величину
.
Для этого можно перейти к разностям измеряемых величин
И далее попытаться найти наилучшее приближение для неизвестной ошибки по известным величинам
.
Имея такое наилучшее приближение
Можно реализовать «комплексный прибор» следующим образом:
,
в котором ошибка будет
.
Естественно считать, что ошибки различных приборов являются независимыми случайными величинами.
Будем предполагать, что они имеют одинаковое распределение вероятностей (с нулевым средним значением).
Тогда корреляционная матрица величин
имеет следующий вид:
Наилучшее линейное приближение есть
,
а соответствующая ошибка «комплексного прибора» будет
.
Соответствующий «комплексный прибор» реализуется следующим образом:
Рассмотрим один частный случай.
Предположим теперь, что ошибка каждого отдельного прибора имеет равномерное распределение вероятностей на отрезке [-d,d].
Найдем абсолютно наилучшее приближение
Совместная плотность вероятности для исходных величин есть
Следовательно, совместная плотность вероятности для величин связанных с
преобразованием
, будет
,
где
Поскольку якобиан указанного преобразования равен 1, а неравенство в точности означает, что соответствующие значения
лежат в пределах
Далее, плотность величин есть
Так что для условий плотности вероятности получаем выражение
.
Искомая функция есть
.
Нетрудно видеть, что оптимальный «комплексный прибор» реализуется следующим образом:
,
где X* и X* означают соответственно наименьшее и наибольшее значения из показаний отдельных приборов X0,…,Xn
Иными словами, X есть полусумма крайних значений вариационного ряда.
В самом деле, легко видеть,
и
где .
Интересно сравнить соответствующие ошибки
при наилучшем линейном и абсолютно наилучшем приближениях; здесь
Полагая для определенности d=1/2, имеем
.
Далее, поскольку
,
то
Видно, что при больших n абсолютно наилучшее приближение в нашем примере явно предпочтительнее, чем наилучшее линейное приближение.
В этой задаче рассматривалась оценка величины с помощью сложного прибора.
Важным моментом являются реалистичные предположения о типе ошибке, например, ошибка может иметь равномерное распределение и тогда оказывается, что лучшее приближение дается полусуммой крайних значений.
При других предположениях об ошибке лучшее приближение будет другим.
Задачу можно естественно обобщить и поставить вопрос, как наиболее точно оценить функцию f(x) или функцию f(x,y) с помощью сложного прибора.
Представьте, вы измеряете расстояние до определенной точки на поверхности Земли или проводите картографическую съемку местности: разные приборы имеют разную точность, и встает вопрос, как разумно объединить показания приборов.
См. классический учебник Ю.А.Розанов Случайные процессы (краткий курс).
Скачать
Актуальные курсы