Выборка, выборочное распределение

Оценка параметров популяции: точечные оценки

Мы часто заинтересованы в оценке параметра в популяции, среднего или стандартного отклонения. Обычно обозначают среднее популяции как , а стандартное отклонение популяции как .

В статистике принято обозначать популяционные параметры (генеральные) буквами греческого алфавита, а выборочные – соответствующими им буквами латинского алфавита, например, и m , и и т. д.

Мы оцениваем значение параметра, используя данные, собранные в выборке.

Эта оценка – точечная оценка генерального параметра (т.е. она принимает только одно значение) в отличие от интервальной оценки, которая имеет интервал значений.

Точечную оценку описывает выборочная статистика. 

Выборочная дисперсия, выборочное стандартное отклонение

Если повторить извлечение выборок того же самого объема из популяции, маловероятно, что оценки параметра популяции будут точно такими же в каждой выборке. Однако все оценки должны быть близки к истинному значению параметра (генеральному параметру) в популяции и подобны друг другу. 

Определяя величину вариабельности этих оценок, мы поймем, насколько они точны, и таким образом сможем оценить ошибку, обусловленную выборкой. 

Обычно берут только одну выборку из популяции. Однако можно использовать знания о теоретическом распределении выборочных оценок для того, чтобы сделать выводы относительно генерального параметра популяции. 

Выборочное стандартное отклонение s оценивается по наблюдаемой реализации выборки:

Стандартное отклонение отражает вариабельность в значениях данных и должно быть указано, если нужно пояснить изменчивость в наборе данных. 

 Выборочное распределение среднего, ошибка среднего

Предположим, что мы заинтересованы в оценке среднего популяции; можно брать много повторных выборок объема n из популяции и оценить среднее в каждой выборке.

Если объем выборки разумно большой, оценки среднего имеют нормальное распределение при любом распределении исходных данных в популяции.

Данное утверждение следует из теоремы, известной как центральная предельная теорема:

   → N (0,1) при n → ∞

Если объем выборки небольшой, оценки среднего отвечают нормальному распределению при условии, что данные в популяции также отвечают нормальному распределению;

Среднее этих оценок – несмещенная оценка истинного среднего в популяции (генерального среднего), т.е. среднее этих оценок эквивалентно истинному среднему в популяции;

Вариабельность распределения выражается стандартным отклонением оценок, известным как стандартная ошибка среднего (часто обозначают как Standard Error Means, SEM).

Если бы мы знали стандартное отклонение популяции σ, тогда стандартная ошибка среднего описывалась бы так:

В случае если есть, как обычно, только одна выборка, нашей лучшей оценкой среднего популяции будет выборочное среднее, а так как редко бывает известно стандартное отклонение в популяции (генеральный стандарт), то стандартную ошибку среднего оценивают следующим образом:

где s – стандартное отклонение в выборке.

Стандартная ошибка среднего отражает точность нашей оценки.

• Большая стандартная ошибка указывает, что оценка неточна;

• Небольшая стандартная ошибка указывает, что оценка точна;

• Стандартная ошибка уменьшится, т.е. мы получим более точную оценку, если:

• Объем выборки увеличится;
• Данные имеют небольшое рассеяние.