Распределение Кокса с фазами может быть определено, как время попадания в состояние 0 марковского процесса, стартующего из состояния n.
Эволюция процесса схематично изображена на рис. 1.
Процесс находится в состоянии экспоненциально распределённое время с параметром
.
После состояния процесс переходит в состояние 0 с вероятностью
или смещается в состояние
с вероятностью
.
Чтобы исключить вырожденные ситуации, полагаем для всех
.
Рисунок 1. Распределение Кокса с n фазами
Распределение Кокса полезно при приближении общих неотрицательных распределений с использованием экспоненциальных фаз.
Доказано, что в определённом смысле множество всех неотрицательных распределений исчерпывается распределениями Кокса.
Пусть - время попадания в 0 при старте из состояния k, и пусть
- функция распределения случайной величины
.
Можно рассмотреть график функции при
для всех
.
Рисунок 2. График функции
Имеет место:
Теорема 1 Пусть все ,
, различны.
Тогда для при
верна формула
,
где определяются следующим образом:
Теорема 1 – это специальный случай теоремы 2, в которой параметры могут принимать любые значения.
Мы сформулировали её в силу её простоты и важности для приложений.
Перед формулировкой теоремы 2 введём некоторые определения.
Пусть:
, то есть это количество появлений
в ряду
;
, если такое
существует и 0 иначе, эта величина представляет собой наименьшую фазу из всех фаз с большим номером и тем же параметром в распределении Кокса с
фазами;
если и равно 0 иначе, эта величина представляет собой наибольшую фазу из всех фаз с меньшим номером и тем же параметром в распределении Кокса;
, то есть это наименьшая фаза с параметром
.
Для удобства мы положим для всех
.
Теорема 2 Для произвольных ,
для всех
задаётся формулой:
(1)
для всех , где
определяются следующим образом:
Доказательство
По свойствам экспоненциального распределения при достаточно малых имеем:
,
Где, как обычно, означает, что
.
Слегка преобразовав последнее выражение и взяв предел при , получим:
для .
Подставляя в найденное соотношение в уравнение (1), имеем:
Приравнивая коэффициенты при для одинаковых
и
, получаем соответствующие выражения для
при
и для случая
.
Выражение для случая следует из того, что
.
Численные соображения. Вычисление коэффициентов прямо по формулам из (1) чревато численными проблемами.
А именно, если и много фаз имеют одинаковые параметры, тогда для больших
станут близкими к 0 и
станут достаточно большими, что приведёт к численной неустойчивости.
В данном случае лучшим решением будет привести в соответствие масштабы параметров, чтобы не работать явно с .
Например, следует заменить на
.
Также нужно быть осторожными, когда для некоторых
и
; положив их равными, мы получим хорошее приближение и избавимся от численных сложностей.
И наконец, когда становится близко к 1, появляются численные проблемы при вычислении
. Если
для всех
, то
возрастает по
.
Поэтому следует заменять на 1, если
.
Специальные случаи. Если для всех
, то, очевидно, мы получаем гамма-распределение; в этом случае
для всех
, и следовательно
, то есть
при
.
Это как раз и есть коэффициенты гамма-распределения.
Рассмотрим случай .
Для удобства мы будем считать, что изменяется от 0 до
.
Это соответствует одному из приложений данных идей, где представляет собой количество клиентов, ожидающих обслуживания.
Причём клиенты могут отказаться во время ожидания.
Известно, что в этом случае:
.
Это выражение можно также переписать следующим образом:
,
что соответствует нашему рассуждению.
В других работах по данной тематике проводились поиски формулы для замкнутого выражения .
Здесь есть вероятность обнаружить в системе
одновременно обслуживаемых клиентов.
Заметим, что вычислительно более эффективно подсчитывать коэффициенты рекурсивно, чем использовать решение в замкнутой форме.
Рассмотрим стандартную Эрлангову систему с очередизацией задержек, в которой есть серверов.
Время поступления вызовов имеют распределение Пуассона (с параметром ), время обслуживания имеет экспоненциальное распределение (с параметром
) и клиенты могут отказаться от услуги во время ожидания (уйти из очереди).
Рассматривались модели, в которых интенсивности отказов одинаковы для всех клиентов.
Однако, не похоже, что время отказа не является функцией от позиции в очереди, хотя бы из-за объявлений, делаемых операторами для клиентов.
Предположим, что интенсивность отказов представляется в виде , где
есть позиция в очереди.
Тогда общая интенсивность отказов при наличии клиентов равна
.
Мы представим сервисный уровень, который представляет собой в данном случае вероятность того, что «тестовый клиент» (с бесконечным терпением) прождёт более 20 секунд (обычное дело в колл-центрах) в очереди.
Это было сделано путём вычисления стационарных вероятностей и хвостовых вероятностей
.
Результаты для разных ситуаций приведены в таблице 1.
В заключение заметим, что отказы улучшают сервисный уровень (СУ) при небольшом уменьшении продуктивности серверов (или, что эквивалентно, малой вероятности отказа).
Этот явление заметно проявляется в случае, когда интенсивность отказов возрастает в зависимости от позиции в очереди.
Этот факт призывает звонящих людей прекращать соединение в случаях, когда им приходится долго ждать.
Таблица 1: Пример колл-центра с в минуту,
в минуту и
.
Материал основан на статье Ger Koole, A formula for tail probabilities of Cox distributions. Journal of Applied Probability 41: 935-938, 2004.
Скачать
Актуальные курсы