Проверка гипотез о векторах средних

Проверка гипотез при известной ковариационной матрице

Проверка гипотез, когда ковариационная матрица неизвестна

Проверка гипотез при известной ковариационной матрице

Если в одномерном случае случайная величина  распределена по закону , где считается неизвестной, то для проверки гипотезы

против альтернативы 

используется статистика , где  – выборочное среднее.

Гипотеза отвергается, если  для некоторого заранее определенного значения .

В многомерном случае предполагается, что  имеет распределение .

Пусть  - случайная выборка с таким распределением. Если матрица  известна, то для проверки гипотезы о том, что вектор средних равен заданному вектору, т.е. гипотезы  против  используется статистика

 

где  – выборочный вектор средних.

При гипотезе  статистика имеет - распределение с  степенями свободы, так что -значение равно площади области, расположенной справа от вычисленного значения  под кривой функции плотности ().

Распределение  для статистики следует из того, что вектор  при гипотезе  подчинен закону распределению 

Заметим, что односторонние проверки теряют смысл в многомерном случае.

Проверка гипотез, когда ковариационная матрица неизвестна

В большинстве практических задач дисперсии и ковариации неизвестны и должны быть оценены по выборке.

В одномерном случае проверяется гипотеза

против альтернативы

Используется статистика , где - выборочное стандартное отклонение.

Гипотеза отвергается при

В многомерном случае вычисляется несмещенная оценка матрицы по формуле

Элемент можно обозначить как

Тогда статистика Хотеллинга задается формулой

Если гипотеза верна, то величина

имеет -распределение с и степенями свободы.

-значением является площадь справа от под кривой плотности распределения

Связанные определения:
p-уровень
Альтернативная гипотеза, альтернатива
Альфа-уровень
Гипотеза
Двусторонний критерий
Критерий для проверки гипотезы
Критическая область проверки гипотезы
Нулевая гипотеза
Односторонний критерий
Ошибка I рода
Ошибка II рода
Статистика критерия
Эквивалентные статистические критерии

В начало

Содержание портала