Мы можем применять правила вероятности для того, чтобы складывать и умножать вероятности.
Например, у взрослого пациента все зубы сохранены, некоторые зубы отсутствуют или он беззубый; вероятности равны 0,67, 0,24 и 0,09 соответственно.
Правило сложения. Если два события, и
, взаимоисключающие, несовместимые, то вероятность события
или
равна сумме их вероятностей:
Вероятность того, что у пациента есть несколько зубов, равна 0,67 + 0,24 = 0,91.
Правило умножения. Если два события, и
, независимы (т. е. возникновение одного события не влияет на возможность появления другого), то вероятность того, что оба события произойдут, равна произведению вероятности каждого:
Например, если 2 не имеющих отношения друг к другу больных ожидают приема в кабинете хирургической стоматологии то вероятность того, что у обоих больных есть все зубы, равна 0,67 • 0.67 = 0,45.
Условная вероятность — вероятность одного события при условии, что другое событие уже произошло.
Пусть — фиксированное вероятностное пространство. Пусть
— два случайных события, причём
. Тогда условной вероятностью события
при условии события
называется
Пусть событие может наступать только при условии появления одного из событий
, образующих полную систему событий. Тогда вероятность события
равна сумме произведений вероятностей каждого из событий
на соответствующую условную вероятность события
:
Эта формула носит название формулы полной вероятности.
Если вероятности событий до опыта были , то с учетом появления в результате опыта события
условная вероятность
вычисляется по формуле Байеса:
Мы приводим пример классического статистического рассуждения, которое полезно иметь в виду при анализе реальных данных.
Бытует мнение, что при рождении ребенка вероятность мальчика такая же, как и девочки.
Примем это за гипотезу.
Для её проверки имеется огромный статистический материал.
Воспользуемся данными по Швейцарии с 1871 по 1900 гг., когда там родилось человек и среди них
мальчиков и
девочек.
Согласуется ли гипотеза о равновероятности рождения мальчика и девочки с этими числами?
Условно назвав «успехом» рождение мальчика, поставим этот вопрос по-другому, обратившись к схеме Бернулли с вероятностью «успеха» .
Согласуется ли гипотеза с тем, что в серии из
испытаний частота «успеха» оказалось равной
Очевидно, если вместо гипотезы выдвинуть, скажем, предположение о том, что
, то это предположение будет сразу же отвергнуто как маловероятное (или даже невозможное).
Уместно спросить: почему? Ответ здесь можно дать, основываясь на том, что частота как случайная величина (обозначим её ) подчиняется известному закону распределения.
Эта величина имеет биномиальное распределение. При больших n имеет место нормальное приближение (в силу центральной предельной теоремы).
Воспользовавшись нормальным приближением и задавшись малым (будем называть
уровнем значимости), можно утверждать, например, что
с вероятностью, где
определяется из условия
с помощью нормальной функции распределения
( называется квантилем уровня
). Скажем,
отвечает
, а
уже соответствует
Это легко проверить с помощью калькулятора вероятностных распределений STATISTICA. Вернемся к нашим числовым данным и гипотезе , согласно которым мы имеем значение
Оно далеко выходит за границу
Какое же значение, основываясь на этих данных, следует приписать неизвестной вероятности ?
Мы знаем, что по закону больших чисел есть предел частоты (при
), и при имеющемся у нас
можно в качестве оценки взять уже приводившееся ранее значение
. Эту оценку можно уточнить следующим образом. Поскольку всегда имеет место неравенство
, получаем
с вероятностью, не меньшей (точнее, допущение о том, что истинное значение
лежит вне этих границ, означает наступление события, дополнительного к (2) и имеющего вероятность не больше
).
В этом смысле можно утверждать, например, что с вероятностью не меньшей 0.9973 (это получается при
с уровнем значимости
).
Данное рассуждение приведено в книге Ю.А. Розанова "Теория вероятностей, случайные процессы и математическая статистика: Учебник для вузов", М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы.
Связанные определения:
Вероятность события
Независимые повторные испытания Бернулли
Независимые события
Скачать
Актуальные курсы