Применение калькулятора обратного нормального распределения: задача о конкуренции

Покажем, как применить интерактивный калькулятор обратного нормального распределения в классической задаче о конкуренции.

Пусть есть две конкурирующие железнодорожные компании А и В, имеющие по одному поезду, курсирующему между Чикаго и Лос-Анжелесом.

Эти два поезда отправляются и прибывают одновременно и оборудованы примерно одинаково.

Можно представить, что каждый пассажир независимо от другого бросает монетку, если выпадает герб, он садится в поезд А, если решка – в поезд В.

Очевидно, мы имеем дело с испытаниями Бернулли, в которых вероятность успеха .

Всего имеется  испытаний или бросков монеты.

Если в поезде имеется  мест, то существует положительная вероятность  того, что явится больше  пассажиров и мест не хватит.

Найдём приближённое значение этой вероятности.

Пусть есть  пассажиров, и   означает решение i-го пассажира сесть в первый () или во второй (). Причем   принимает указанные значения с вероятностями 1/2.

Тогда  означает количество пассажиров, выбравших первый поезд.

Заметим, что  является суммой независимых одинаково распределённых случайных величин.

Эта величина имеет биномиальное распределение.

Воспользуемся нормальным приближением для биномиального распределения.

По центральной предельной теореме имеем:

 при больших ;

 - математическое ожидание ;

 - дисперсия ;

 - функция распределения стандартного нормального закона.

Таким образом, если в первом поезде  мест, то вероятность того, что пассажиров будет больше равна:

То есть, в наших обозначениях:

.

Если  столь велико, что , то число мест будет достаточным в 99 случаях из 100.

Вообще компания может установить произвольный уровень риска  и определить  так, чтобы .

Для этой цели достаточно положить:

,

 где  - корень уравнения  (квантиль порядка  стандартного нормального закона).

Например, если , то с помощью калькулятора обратного нормального распределения, вводя :

Рис. 1

и, нажав кнопку «Вычислить», получаем:

Рис. 2

То есть, .

Теперь по приведённым выше формулам получаем, что если  и , то достаточно . Если обе компании примут уровень риска , то два поезда будут иметь в общей сложности 1074 места, 74 из которых будут пустыми. Аналогично 514 мест было бы достаточно в 80% случаев, а 549 мест – в 999 из 1000 случаев.

Подобные соображения применимы и в других задачах о конкурирующем обслуживании.

Например, если  кинотеатров соперничают из-за одних и тех же  зрителей, то следует положить , и неравенство для  должно быть заменено на следующее:

.

Общее число пустых мест при такой системе равно .

Для  и  значения этого числа приближённо равны соответственно 74, 126 и 147.

Данная задача описана в книге В. Феллер "Введение в теорию вероятностей и её приложение (Том 1)", стр. 192.

Связанные определения:
Cтандартное нормальное распределение
Критерий Колмогорова-Смирнова
Нормальное распределение
Шапиро-Уилка W критерий

В начало

Содержание портала