Об одной логит-регрессионной модели

Пусть имеются данные, представляющие собой наборы (V_i, P_i, y_i), i = 1,...,N, где V_i > 0, P_i > 0, а переменная y_i принимает только два значения. Далее будем считать, что y_i либо равно 0, либо равно 1.

Предположим, что события (y_i = 1) (i = 1,...,N) независимы и что существует гладкая функция r(V, P) такая, что вероятность события (y_i = 1) равна r(V_i, P_i), i = 1,...,N. Для функции r(V, P) естественно представление

r(V, P) = W(V, P)/(1+ W(V, P)).      (1)

Предположим, что положительная функция W(V, P) выглядит следующим образом:

ln W(V, P) = b₀ + b₁ lnV + b₂ ln P.     (2)

Таким образом, получено трехпараметрическое семейство вероятностных распределений для случайного вектора (y₁, y₂,..., y_N)= Y.

Логарифм функции правдоподобия для случайного вектора Y имеет вид:

ln L(Y, b₀, b₁, b₂) = S_i=1^N[y_i ln r(V_i, P_i) + (1 - y_i) ln(1 - r(V_i, P_i ))].     (3)

Согласно методу максимального правдоподобия, в качестве оценки неизвестных параметров b₀, b₁, b₂ при заданном векторе Y берутся такие значения этих параметров, которые максимизируют ln L(Y, b₀, b₁, b₂).

После того как найдены оценки параметров (b₀, b₁, b₂), мы получаем значения функции r(V, P) в каждой точке (V, P). По этой функции строим дискриминантную кривую, которая задается уравнением

r(V, P) =1/2     (4)

Если в точке (V_i, P_i) значение r(V_i, P_i) > 1/2, то предсказанное значение y_i в этой точке равно 1. При r(V_i, P_i) < 1/2 предсказанное значение y_i равно 0. Уравнение (4) можно переписать в виде W(V, P) = 1 или, как следует из (2),

b₀ + b₁ lnV + b₂lnP = 0.

Отсюда получаем уравнение дискриминантной кривой в переменных P и V

P = e^{(-b0/ b2)}V^(-b1/b2).

Введем теперь в пространстве переменных P и V новую координату

Z = P/(e^(-b0/b2)V^{(-b1/ b2)}) = P e^(b0/b2)V^{(b1/ b2)}.

Тогда функция r(V, P) будет функцией только от переменной Z и дискриминантная линия будет задаваться уравнением Z = 1 в координатах (V, Z). Практические вычисления удобно осуществлять с помощью раздела Логит-регрессия пакета STATISTICA. Кроме решения указанных выше задач в пакете даются статистические характеристики оценок параметров (b₀, b₁, b₂), что позволяет оценить достоверность выводов всего анализа. Ниже приведен пример для конкретных данных из файла ot–17.sta. Вычисленные оценки: b₀ = -56.033, b₁ = 2.44580, b₂ = 6.082712.

 

95%-ые доверительные интервалы для параметров (b₀, b₁, b₂ ) равны соответственно [-100.75; -11.319], [2.445; 4.282], [1.09; 11.074]. Довольно широкие доверительные интервалы для параметров не позволяют в этом примере построить эффективную доверительную полосу для дискриминантной функции.

 

Связанные определения:
Логистическая регрессия

В начало

Содержание портала