Коэффициент корреляции

Общий обзор

Коэффициент корреляции Пирсона

Свойства коэффициента корреляции

Когда не следует рассчитывать r

Общий обзор

Корреляционный анализ занимается степенью связи между двумя переменными, x и y.

Сначала предполагаем, что как x, так и y количественные, например рост и масса тела. Предположим, пара величин (x, у) измерена у каждого из n объектов в выборке.

Мы можем отметить точку, соответствующую паре величин каждого объекта, на двумерном графике рассеяния точек.

Обычно на графике переменную x располагают на горизонтальной оси, а у — на вертикальной. Размещая точки для всех n объектов, получают график рассеяния точек, который говорит о соотношении между этими двумя переменными.

Коэффициент корреляции Пирсона

Соотношение х и у линейное, если прямая линия, проведенная через центральную часть скопления точек, дает наиболее подходящую аппроксимацию наблюдаемого соотношения.

Можно измерить, как близко находятся наблюдения к прямой линии, которая лучше всего описывает их линейное соотношение путем вычисления коэффициента корреляции Пирсона, обычно называемого просто коэффициентом корреляции.

Его истинная величина в популяции (генеральный коэффициент корреляции) (греческая буква «ро») оценивается в выборке как r (выборочный коэффициент корреляции), которую обычно получают в результатах компьютерного расчета.

Пусть (x₁. y₁), (x₂, y₂),…,(x_n, y_n) - выборка из n наблюдений пары переменных (X, Y).

Выборочный коэффициент корреляции r определяется как

, 

где ,  - выборочные средние, определяющиеся следующим образом:

Свойства коэффициента корреляции r

• r изменяется в интервале от —1 до +1.

• Знак r означает, увеличивается ли одна переменная по мере того, как увеличивается другая (положительный r), или уменьшается ли одна переменная по мере того, как увеличивается другая (отрицательный r).

• Величина r указывает, как близко расположены точки к прямой линии. В частности, если r = +1 или r= —1, то имеется абсолютная (функциональная) корреляция по всем точкам, лежащим на линии (практически это маловероятно); если , то линейной корреляции нет (хотя может быть нелинейное соотношение). Чем ближе r к крайним точкам (±1), тем больше степень линейной связи.

• Коэффициент корреляции r безразмерен, т. е. не имеет единиц измерения.

• Величина r обоснована только в диапазоне значений x и y в выборке. Нельзя заключить, что он будет иметь ту же величину при рассмотрении значений x или y, которые значительно больше, чем их значения в выборке.

• x и y могут взаимозаменяться, не влияя на величину r ().

• Корреляция между x и у не обязательно означает соотношение причины и следствия.

•  представляет собой долю вариабельности у, которая обусловлена линейным соотношением с x.

Когда не следует рассчитывать r

Расчет r может ввести в заблуждение, если:

• соотношение между двумя переменными нелинейное, например квадратичное;
• данные включают более одного наблюдения по каждому случаю;
• есть аномальные значения (выбросы);
• данные содержат ярко выраженные подгруппы наблюдений.
  

Связанные определения:
Выборочный коэффициент корреляции
Корреляционный анализ
Корреляция
Коэффициент корреляции
Некоррелированный

В начало

Содержание портала