Модели входящих потоков

Простейший пуассоновский поток однородных событий

Простой групповой поток

Простой поток разнотипных событий

Эрланговский поток

Гиперэрланговский поток

Однородный марковский поток однородных событий

Однородный дискретный поток без последствий

Неоднородный пуассоновский поток

Простейший пуассоновский поток однородных событий

Прежде всего, нам нужно научиться описывать потоки событий, которые моделируют реальные процессы поступления вызовов в телекоме.

Пусть –– некоторая постоянная; , , –– последовательность независимых экспоненциально распределенных случайных величин с параметром .

,

Тогда множество моментов времени , где , называется простейшим потоком однородных событий.

Из свойств экспоненциального распределения следует, что:

1. время от момента до следующего события потока имеет экспоненциальное распределение с параметром , независимо от числа и моментов событий потока в интервале

2. вероятность того, что в интервале происходит событие потока, равна

3. вероятность двух или более числа событий в интервале равна

Постоянная называется параметром простейшего потока.

Обозначим через  число событий простейшего потока интенсивности , наступивших в интервале

Например,  число звонков, поступивших за время .

Тогда  имеет распределение Пуассона с параметром

Среднее число звонков равно:

Итак, среднее число звонков для простейшего потока пропорционально интенсивности и длине интервала.

Простой групповой поток

События могут наступать как поодиночке, так и группами.

Пусть –– моменты событий простейшего потока с параметром ;

–– последовательность независимых неотрицательных целочисленных случайных величин с распределением .

Последовательности и считаем взаимно независимыми.

Положим, что в момент , происходит событий некоторого случайного потока.

Такой поток назовем простым групповым (неординарным) потоком однородных событий.

Таким образом, простой групповой поток определяется параметром и набором вероятностей .

Простой поток разнотипных событий

Пусть  –– моменты событий простейшего потока с параметром ;

–– независимые случайные величины со значением из некоторого конечного или счетного множества .

Считается что последовательности и являются независимыми и .

Если , то в момент  наступает событие типа .

Если события потока интерпретируются как поступающие в систему требования, то в этом случае говорят, что поступает требование типа .

Так определяется простой поток разнотипных событий (требований).

Эрланговский поток

Пусть   –– моменты событий простейшего потока с параметром , –– заданная постоянная.

Эрланговский поток однородных событий порядка   определяется как множество моментов , где –– независимая от случайная величина, принимающая значения с равными вероятностями.

Во многих задачах распределение момента первого события пока не существенно.

В этом случае эрланговским потоком называют множество моментов вида , , где  –– момент первого события определяемого потока (определение индекса несущественно), –– момент события простейшего потока.

Эрланговский поток можно представить как результат периодического «просеивания» простейшего потока.

Именно: представим себе счетчик по модулю , переходящий из состояния в состояние при и из состояния в состояние 0 при каждом событии простейшего потока.

Событие простейшего потока будем считать «отмеченным», если после каждого из них состояние счетчика равно 0.

Тогда множество отмеченных событий и образует эрланговский поток, если состояние счетчика при распределено по равномерному закону на множестве .

При эрланговский поток совпадает с простейшим.

Важной характеристикой потока однородных событий является распределение времени между и событиями.

Для эрланговского потока есть сумма независимых случайных величин распределенных по экспоненциальному закону с параметром .

Следовательно, плотность случайной величины , ,

,   .

Соответствующие распределение называется распределением (законом) Эрланга порядка .

Гиперэрланговский поток

Гиперэрланговским распределением называется распределение с плотностью

, 

где .

Гиперэрланговское распределение –– это смесь эрланговских распределений.

Пусть некоторая операция имеет случайную длительность  с плотностью (5.5).

Тогда можно считать, что в начале операции реализуется случайное испытание, результатом которого может быть любой исход с вероятностью .

Если исход испытания –– данное число , то при условии  имеет распределение Эрланга порядка , т.е. равно сумме независимых экспоненциальных величин с параметром .

Итак, можно ввести следующий алгоритм построения случайной величины :

1. реализуется случайное испытание с исходами 1, 2, …, имеющие вероятности

2. при переходе в момент 0 начинается -я фаза элементарной операции. По окончанию -й фазы начинается -я и т.д.

Момент окончания 1-й фазы и есть значение случайной величины .

Длительность фаз независимы в совокупности, не зависят от исхода случайного испытания и распределены по экспоненциальному закону с параметром .

Как и эрланговский, гиперэрланговский поток можно представить как множество моментов, когда однородный марковский процесс  выходит из состояния 1.

Интенсивности перехода такого процесса имеют вид

Для рассматриваемого случайного процесса возможен переход из состояния 1 в то же состояние (с интенсивностью ).

Чтобы исключить такую возможность, достаточно ввести одно дополнительное состояние 0; событие потока происходит, когда процесс попадает в состояние 0, из состояния 0 происходит мгновенные переход в состояние c вероятностью .

Однородный марковский поток однородных событий

Пусть  –– однородный марковский процесс с дискретным множеством состояний и интенсивностями перехода .

Определим параметры  и  и зададим случайный поток однородных событий следующим образом.

Если в интервале процесс находится в состоянии , то в этом интервале происходит событие потока с вероятностью независимо от .

Если в момент происходит переход процесса  из состояния в состояние , то в этот момент происходит событие потока с вероятностью  независимо от .

Определенный таким образом поток назовем однородным марковским потоком событий.

Однородный дискретный поток без последствий

Пусть в момент , где –– постоянные, происходит  событий потока, где  –– независимые случайные величины с общим законом распределения .

Определенный таким образом поток называется однородным дискретным потоком без последствий.

Неоднородный пуассоновский поток

Пусть  –– простейший поток с параметром .

Возьмем произвольную неубывающую функцию , и определим новый поток следующим образом.

Положим, что  в том и только в том случае, если .

Такой поток называется неоднородным пуассоновским потоком однородных событий. Если  –– непрерывная функция, соотношение можно заменить более простым .

По определению, неоднородный пуассоновский поток –– это простейший поток, к которому применено преобразование шкалы времени.

Именно неоднородные потоки часто возникают на практике, интенсивность вызовов зависит, например, от времени суток.

В начало

Содержание портала