Частота рекомбинаций хромосом домашней мыши относительно некоторого признака

Фишер (1949) изучал следующие данные, касающиеся частоты рекомбинаций хромосом домашней мыши относительно некоторого признака (т.е. частоты образования гетерозигот).

Данные, приведенные в таблице 1, найдены из экспериментов по возвратному скрещиванию животных.

Число, стоящее в знаменателе, равно общему количеству потомков, а в числителе – количеству рекомбинантов, т.е. животных, являющихся гетерозиготами по данному признаку, из общего числа потомков.

Задача состоит в том, чтобы получить оценки доли комбинаций хромосом для данных гетерозигот.

Таблица 1. Доли рекомбинаций, наблюденные для 20 классов гетерозиготных родителей

Различие по полу. Имеется ли в данных долях рекомбинаций различие по полу для каждого гетерозиготного признака? Рассматривая признак A^YA^L, мы получаем следующую таблицу.

Критерий независимости хи-квадрат χ2 дает 0,0905 при одной степени свободы. Сумма значений χ2 для десяти типов гетерозигот равна 4,827 при 10 степенях свободы. Вероятность того, что χ2 при 10 степенях свободы превысит величину 4,827, очень велика, что указывает на отсутствие различия по полу.

Различие между гетерозиготами. Так как в этом случае различиями по полу можно пренебречь, то наблюдения можно собрать в таблицу сопряженности признаков 210. В этом случае одним из качественных признаков естественно считать тип гетерозигот, а другим – природу комбинаций (старая и новая).

Критерий однородности хи-квадрат χ2 дает 16,315 при 9 степенях свободы, что является значимым при 5-процентном уровне. Это указывает на различие в рекомбинированных значениях для различных гетерозигот.

Взаимосвязь между полом и гетерозиготами. Этот пример не совсем удобен для дальнейшего анализа различий по полу.

Предположим, мы установили, что существует различие по полу в одном или во всех десяти типах скрещивания.

Тогда возникает другая проблема относительно того, будет ли различие по полу одинаково во всех случаях, т.е. необходимо испытать, будет ли существовать взаимосвязь между полом и природой признака.

Это можно проверить, используя тригонометрическое преобразование, а затем провести анализ дисперсии. По каждой наблюденной частоте p определяется соответствующий угол φ так, что p = sin²φ.

Если величина φ измеряется в градусах, то она имеет дисперсию  или приблизительно .

В таблице 2 приведено 20 значений углов и необходимые вычисления.

Значение хи-квадрат χ2 при 10 степенях свободы для испытания различия по полу в каждом из 10 типов равно:

Это немногим больше значения 4,827, полученного ранее непосредственным применением критерия χ2.

Найдем значение хи-квадрат χ2 при одной степени свободы, которое получается вследствие полного различия по полу во всех типах:

Вычитая теперь это число из величины χ2 с 10 степенями свободы, получим остаток:

5,40 – 0,05 = 5,35,

являющийся значением χ2 с 9 степенями свободы, которое служит для испытания взаимосвязи между полом и типом гетерозигота.

В таком случае можно исследовать различие в типах гетерозигот, проводя суммирование по обоим полам.

Однако мы проиллюстрируем соответствующий критерий, считая, что различие по полу существует, но нет взаимодействия.

Различия в гетерозиготах, исключая различия по полу. Значения полного критерия χ2 при 20 – 1 = 19 степенях свободы равно:

Таблица 2. Вычисление взаимосвязи

Таблица 3. Различия в гетерозиготах 

При этом суммирование распространяется на все 20 углов. Основные вычисления приведены в таблице 3, где суммирование проведено по всем гетерозиготам. Итоговое значение χ2 для ♀ и ♂ равно:

10,17 + 13б40 = 23б57

И имеет 18 степеней свободы. Вычислим компоненту взаимодействия 5,35 при 9 степенях свободы для испытания различий в гетерозиготах, не включая в рассмотрение пол:

23,57 – 5,35 = 18,22

Полученная величина значима. Этот же результат можно получить несколько отличным путем.

Значение хи-квадрат χ2 для пола, когда игнорируют различия в гетерозиготах, получают в следующем виде:

При этом числа взяты из колонок  и таблицы 3.

Значение χ2 для гетерозигот получается при вычитании из общего значения χ2 величины 0,01 и суммы квадратов взаимодействия.

Это приводит к величине 23,58 – 0,01 – 5,35 = 18,22, которая совпадает с вычисленной прежде.

Таблица 4. Анализ значений χ2

Суммарное значение хи-вадрат χ2 при 19 степенях свободы значимо, что указывает на общее различие.

К полному χ2 не добавляются различные компоненты χ2, так как частоты получаются из разных чисел.

Связанные определения:
Параметрические методы статистики

В начало

Содержание портала