Задача о комплексе приборов

Представленная задача часто возникает на практике.

Представьте себе, что имеется n приборов, предназначенных для измерения некоторой величины .

Например,  может быть расстоянием до объекта (представьте, что измерения проводятся из космоса), весом детали, линейными размерами и т.д.

Пусть каждый прибор допускает ошибку, показывая величину  вместо истинного значения .

Возникает задача объединения этих приборов в один комплекс таким образом, чтобы показания «комплексного прибора»  давали наименьшую ошибку: .

Наметим общий план решения задачи.

Ясно, что при обработке ошибок измерения  нужно сначала исключить из имеющихся данных  саму (неизвестную) величину .

Для этого можно перейти к разностям измеряемых величин

И далее попытаться найти наилучшее приближение для неизвестной ошибки  по известным величинам .

Имея такое наилучшее приближение

Можно реализовать «комплексный прибор» следующим образом:

,

в котором ошибка  будет

.

Естественно считать, что ошибки  различных приборов являются независимыми случайными величинами.

Будем предполагать, что они имеют одинаковое распределение вероятностей (с нулевым средним значением).

Тогда корреляционная матрица  величин  имеет следующий вид:

Наилучшее линейное приближение есть

,

а соответствующая ошибка «комплексного прибора» будет

 .

Соответствующий «комплексный прибор» реализуется следующим образом:

Рассмотрим один частный случай.

Предположим теперь, что ошибка каждого отдельного прибора имеет равномерное распределение вероятностей на отрезке [-d,d].

Найдем абсолютно наилучшее приближение

Совместная плотность вероятности для исходных величин  есть

Следовательно, совместная плотность вероятности для величин  связанных с преобразованием , будет

_,

где

Поскольку якобиан указанного преобразования равен 1, а неравенство  в точности означает, что соответствующие значения  лежат в пределах 

Далее, плотность величин  есть

Так что для условий плотности вероятности  получаем выражение

_.

Искомая функция  есть .

Нетрудно видеть, что оптимальный «комплексный прибор» реализуется следующим образом:

,

где X_* и X* означают соответственно наименьшее и наибольшее значения из показаний отдельных приборов X₀,…,X_n

Иными словами, X есть полусумма крайних значений вариационного ряда.

В самом деле, легко видеть,

и

где .

Интересно сравнить соответствующие ошибки

при наилучшем линейном и абсолютно наилучшем приближениях; здесь

Полагая для определенности d=1/2, имеем

.

Далее, поскольку

,

то

Видно, что при больших n абсолютно наилучшее приближение в нашем примере явно предпочтительнее, чем наилучшее линейное приближение.

Обсуждение задачи о комплексе приборов

В этой задаче рассматривалась оценка величины  с помощью сложного прибора.

Важным моментом являются реалистичные предположения о типе ошибке, например, ошибка может иметь равномерное распределение и тогда оказывается, что лучшее приближение дается полусуммой крайних значений.

При других предположениях об ошибке лучшее приближение будет другим.

Задачу можно естественно обобщить и поставить вопрос, как наиболее точно оценить функцию f(x) или функцию f(x,y) с помощью сложного прибора.

Представьте, вы измеряете расстояние до определенной точки на поверхности Земли или проводите картографическую съемку местности: разные приборы имеют разную точность, и встает вопрос, как разумно объединить показания приборов.

См. классический учебник Ю.А.Розанов Случайные процессы (краткий курс).

В начало

Содержание портала