Расстояние Махаланобиса

Определение

Интуитивное объяснение

Применение

Пусть  – случайная выборка, имеющая многомерное нормальное распределение 

Тогда выборочное среднее и ковариационная матрица имеют соответственно вид

Если  – некоторый вектор наблюдений, имеющий распределение , то выборочный аналог величины , называемой выборочным расстоянием Махаланобиса, дается формулой

Можно показать, что величина

имеет -распределение с  и  степенями свободы.

Определение

Расстояние от вектора  до множества со средним значением  и матрицей ковариации  определяется как 

Расстояние Махаланобиса также может быть определено как мера различия между двумя случайными векторами с равными распределениями: 

В случае, когда матрица  единичная, расстояние Махаланобиса равно стандартному евклидову расстоянию.

Если матрица  диагональная, то расстояние Махаланобиса называется стандартизованным евклидовым расстоянием.

Интуитивное объяснение

В задаче нахождения вероятности того, что заданная точка принадлежит неизвестному множеству, которое задано несколькими известными точками, первым шагом будет определить центр масс этого множества.

Чем ближе эта точка будет к центру масс, тем больше вероятность того, что она в него попала.

Во-вторых, стоит учитывать разброс точек множества относительно центра масс, т.е. стандартизовать это расстояние: 

Однако точки множества могут располагаться не сферически симметрично относительно центра масс. В таком случае необходимо учитывать также не только вероятность появления точки на таком расстоянии от центра, но и в таком направлении. Учитывающим эти принципы обобщением и является расстояние Махаланобиса.

Применение

Расстояние Махаланобиса определяет различие между векторами и не зависит от масштаба, а потому является размером эффекта. Оно широко применяется в задачах кластеризации и классификации: для того, чтобы определить, к какому из известных классов относится точка, необходимо найти матрицы ковариаций для всех классов и взять класс с наименьшим  до точки.

В начало

Содержание портала