Распределения Кокса

Распределение Кокса с  фазами может быть определено, как время попадания в состояние 0 марковского процесса, стартующего из состояния n.

Эволюция процесса схематично изображена на рис. 1.

Процесс находится в состоянии  экспоненциально распределённое время с параметром .

После состояния  процесс переходит в состояние 0 с вероятностью  или смещается в состояние  с вероятностью .

Чтобы исключить вырожденные ситуации, полагаем  для всех .

Рисунок 1. Распределение Кокса с n фазами

Распределение Кокса полезно при приближении общих неотрицательных распределений с использованием экспоненциальных фаз.

Доказано, что в определённом смысле множество всех неотрицательных распределений исчерпывается распределениями Кокса.

Пусть  - время попадания в 0 при старте из состояния k, и пусть - функция распределения случайной величины .

Можно рассмотреть график функции  при  для всех .

Рисунок 2. График функции 

Имеет место:

Теорема 1 Пусть все , , различны.

Тогда для  при  верна формула

, 

где  определяются следующим образом:

Теорема 1 – это специальный случай теоремы 2, в которой параметры могут принимать любые значения.

Мы сформулировали её в силу её простоты и важности для приложений.

Перед формулировкой теоремы 2 введём некоторые определения.

Пусть:

, то есть это количество появлений  в ряду ;

, если такое  существует и 0 иначе, эта величина представляет собой наименьшую фазу из всех фаз с большим номером и тем же параметром в распределении Кокса с  фазами;

 если  и равно 0 иначе, эта величина представляет собой наибольшую фазу из всех фаз с меньшим номером и тем же параметром в распределении Кокса;

, то есть это наименьшая фаза с параметром .

Для удобства мы положим  для всех .

Теорема 2  Для произвольных , для всех  задаётся формулой:

    (1)

для всех , где  определяются следующим образом:

Доказательство

По свойствам экспоненциального распределения при достаточно малых  имеем:

 ,

Где, как обычно,  означает, что .

Слегка преобразовав последнее выражение и взяв предел при , получим:

для .

Подставляя в найденное соотношение в уравнение (1), имеем:

Приравнивая коэффициенты при  для одинаковых  и , получаем соответствующие выражения для  при  и для случая .

Выражение для случая  следует из того, что .

Численные соображения.  Вычисление коэффициентов прямо по формулам из (1) чревато численными проблемами.

А именно, если  и много фаз имеют одинаковые параметры, тогда для больших   станут близкими к 0 и  станут достаточно большими, что приведёт к численной неустойчивости.

В данном случае лучшим решением будет привести в соответствие масштабы параметров, чтобы не работать явно с .

Например,  следует заменить на .

Также нужно быть осторожными, когда  для некоторых  и ; положив их равными, мы получим хорошее приближение и избавимся от численных сложностей.

И наконец, когда  становится близко к 1, появляются численные проблемы при вычислении . Если  для всех , то  возрастает по .

Поэтому  следует заменять на 1, если .

Специальные случаи.  Если  для всех , то, очевидно, мы получаем гамма-распределение; в этом случае  для всех , и следовательно , то есть  при .

Это как раз и есть коэффициенты гамма-распределения.

Рассмотрим случай .

Для удобства мы будем считать, что  изменяется от 0 до .

Это соответствует одному из приложений данных идей, где  представляет собой количество клиентов, ожидающих обслуживания.

Причём клиенты могут отказаться во время ожидания.

Известно, что в этом случае:

.

Это выражение можно также переписать следующим образом:

,

что соответствует нашему рассуждению.

В других работах по данной тематике проводились поиски формулы для замкнутого выражения .

Здесь  есть вероятность обнаружить в системе  одновременно обслуживаемых клиентов.

Заметим, что вычислительно более эффективно подсчитывать коэффициенты рекурсивно, чем использовать решение в замкнутой форме.

Пример (модель call-center)

Рассмотрим стандартную Эрлангову систему с очередизацией задержек, в которой есть серверов.

Время поступления вызовов имеют распределение Пуассона (с параметром ), время обслуживания имеет экспоненциальное распределение (с параметром ) и клиенты могут отказаться от услуги во время ожидания (уйти из очереди).

Рассматривались модели, в которых интенсивности отказов одинаковы для всех клиентов.

Однако, не похоже, что время отказа не является функцией от позиции в очереди, хотя бы из-за объявлений, делаемых операторами для клиентов.

Предположим, что интенсивность отказов представляется в виде , где  есть позиция в очереди.

Тогда общая интенсивность отказов при наличии  клиентов равна .

Мы представим сервисный уровень, который представляет собой в данном случае вероятность того, что «тестовый клиент» (с бесконечным терпением) прождёт более 20 секунд (обычное дело в колл-центрах) в очереди.

Это было сделано путём вычисления стационарных вероятностей  и хвостовых вероятностей .

Результаты для разных ситуаций приведены в таблице 1.

В заключение заметим, что отказы улучшают сервисный уровень (СУ) при небольшом уменьшении продуктивности серверов (или, что эквивалентно, малой вероятности отказа).

Этот явление заметно проявляется в случае, когда интенсивность отказов возрастает в зависимости от позиции в очереди.

Этот факт призывает звонящих людей прекращать соединение в случаях, когда им приходится долго ждать.

Таблица 1: Пример колл-центра с  в минуту,  в минуту и .

Материал основан на статье Ger Koole, A formula for tail probabilities of Cox distributions. Journal of Applied Probability 41: 935-938, 2004.

В начало

Содержание портала