Пример применения калькулятора Пуассона: задача о телефонных линиях

Телефонная станция А, обслуживающая 2000 абонентов, должна соединить их с соседней станцией В.

Было бы слишком дорого и бессмысленно проводить 2000 линий из А в В. Достаточно сделать число линий N настолько большим, что при нормальных условиях лишь на один из каждой сотни вызовов не нашлось бы немедленно свободной линии.

Предположим, что в течение наиболее напряжённого часа дня каждый абонент разговаривает с В в среднем 2 минуты.

Построим математическую модель данной ситуации. Мы будем считать, что число вызовов описывается биномиальной случайной величиной с параметрами 2000 и 1/30.

Таким образом, это количество "успехов" в 2000 независимых испытаниях Бернулли с вероятностью "успеха" р=1/30 (вероятностью того, что потребуется линия).

Эти испытания при нормальных условиях можно считать независимыми. Хотя, конечно, это перестаёт быть верным, когда такие события, как неожиданный ливень или землетрясение, заставляют многих вызывать такси или звонить в местную газету; теория становится неприменимой; линии будут забиты.

Итак, мы имеем 2000 испытаний Бернулли с р=1/30, требуется найти наименьшее число N такое, что вероятность более чем N "успехов"; меньше 0,01, то есть , где   есть количество занятых линий

При использовании приближённой формулы Пуассона мы берём λ=200/3=66,67.

Теперь нам требуется найти число N, удовлетворяющее указанному соотношению.

С помощью интерактивного калькулятора Пуассоновского распределения находим:

Рис. 1

что наименьшее N, устраивающее нас, равно 87, то есть хватило бы 87 линий вместо 2000.

Связанные определения:
Распределение Пуассона

В начало

Содержание портала