Гамма распределение

Символом  обозначают гамма-распределение или Г-распределение.

Это распределение с двумя параметрами : , 

Распределение сосредоточено на положительной полуоси.

Плотность  распределения имеет вид:

               (1)

где  - положительные параметры,  - параметр формы,  - параметр масштаба.

  есть гамма-функция Эйлера, по определению равная:

.

Напомним свойства гамма-функции:

Иными словами, гамма-функция есть обобщение факториала.

Кроме этого, полезно знать: , 

При  гамма-распределение превращается в обычное экспоненциальное распределение, которое широко используется при анализе телекоммуникационных данных.

Характеристическая функция Г-распределения имеет вид:

         (2) 

Если случайная  величина имеет гамма-распределение, что символически обозначается как , то ее моменты вычисляются по формуле:

         (3) 

При целых t>0 это может быть получено прямым дифференцированием характеристической функции, см. формулу (2).

В частности, полагая  , находим

        (4) 

Из формул (2), (3) видно, что параметр  играет роль масштаба гамма-распределения

, если .

В силу этого многие свойства Г-распределения достаточно изучать при каком-либо одном значении параметра , например  = 1 или  = 1/2.

Распределение  играет важную роль в математической статистике и называется распределением хи-квадрат (или ).

Связанные определения:
Гамма-распределение

В начало

Содержание портала