Биномиальное распределение

Биноминальное распределение - распределение количества «успехов» в последовательности из n независимых случайных экспериментов, таких что вероятность «успеха» в каждом из них равна p.

Это распределение интенсивно используется в картах контроля качества, p - доля годной продукции, q - доля брака.

В телекоммуникации q - доля необслуженных (потерянных) вызовов.

Представим себе испытание с двумя возможными исходами: А и А^с, где, скажем, А условно означает «успех», дополнительное событие А^с – «неудачу».

Серию независимых испытаний такого рода с одной и той же вероятностью успеха р=Р(А) называют испытаниями Бернулли.

Примером может служить последовательное бросание монеты, в котором условно выпадение герба есть успех, а выпадение решетки – неудача.

Каждый исход n испытаний здесь можно описать цепочкой событий , где или А^с соответственно означает успех или неудачу в k-м испытании,

      (1)

Положим 1-p=q. Для независимых исходов  в последовательности независимых испытаний вероятность их совместного осуществления есть , и для цепочки , в которой имеется ровно k успехов и n-k неудач, получим:

     (2)

Обозначим  совокупность всех возможных исходов  - их общее число N= 2ⁿ.

Очевидно, не являются равновероятными, если . 

Определим вероятность события  как .

Рассмотрим число  всех успехов в цепочке событий . 

Какова вероятность, что ? Очевидно, в  входят лишь равновероятные исходы , - вероятность каждого из них указана в (2).

Число всех  равно числу сочетаний  и, следовательно,

Это так называемое биноминальное распределение, называемое также распределением Бернулли, - связь его с биномом налицо: 

Связанные определения:
Биномиальное распределение
Ординальное полиномиальное распределение
Полиномиальное распределение

В начало

Содержание портала