Задача о телефонных линиях

Рассмотрим классическую задачу, возникающую в телефонии, хотя задача возникла давно, она не потеряла актуальность в настоящее время (оригинальный источник: Bell Telephone System Technical Publication Monograph B – 854, см. также Феллер т. 1, с. 194-195).

Рассматривается традиционная (немобильная) связь.

Пусть в городе имеется 2 телефонные станции А и В.

Пусть телефонная станция А должна соединять абонентов из одного района со станцией В из другого района.

Всего имеется 2000 абонентов, очевидно, неразумно делать 2000 линии для каждого абонента (это слишком дорого).

Задача состоит в том, чтобы определить оптимальное количество линий X, позволяющих поддерживать качество связи, при котором теряется не более одного звонка из 100.

Иными словами, вероятность потери звонка не более 0.01.

Естественнее подойти к решению задачи следующим образом:

Будем рассматривать тот час, когда на линии приходится максимальная (пиковая) нагрузка.

Пусть известно, что в час, когда имеется пиковая нагрузка, каждый абонент из А разговаривает в среднем 2 минуты с абонентом из В.

Время начала разговора случайно.

Поэтому можно считать, что с вероятностью абонент занимает одну линию.

Предположим, абоненты производят звонки независимо друг от друга.

Обозначим через общее число занятых линий.

– это случайная величина, имеющая биномиальное распределение с вероятностью успеха .

Всего проводится 2000 испытаний. Вы можете представить себе, что каждый абонент бросает монетку, если выпадает герб, то производится звонок.

Вероятность выпадения герба равна .

Легко видеть, что это соответствует классической схеме испытаний Бернулли с подбрасыванием монеты.

Итак, мы имеем 2000 испытаний Бернулли с , требуется найти наименьшее число , такое, что вероятность более чем «успехов» меньше 0,01; в наших обозначениях:

     (*)

При использовании приближенной формулы Пуассона мы должны определить параметр .

Определим параметр  следующим образом:

Иными словами:

.

Воспользуемся интерактивным Калькулятором распределения Пуассона для нахождения из уравнения (*)

С помощью этого калькулятора или по таблицам пуассоновского распределения находим, что вероятность 87 или более успехов равна примерно 0,0097, тогда как вероятность 86 или более успехов примерно 0,013.

Это показывает, что в нашем примере достаточно иметь 87 линий, чтобы гарантировано обеспечить соединение с вероятностью потери вызова не больше 0.01.

Можно провести расчеты при других параметрах, например, при количестве абонентов 10000 и критерии качества вероятности потери вызова 0.02.

 

Связанные определения:
Распределение Пуассона

В начало

Содержание портала