Модели сотовой связи

Общий обзор

Вероятностная модель

Модель Эрланга А

Модель Эрланга B

Модель Эрланга С

Вывод формулы Эрланга

Общий обзор

Имея физических каналов на ячейку, можно обеспечить в этой ячейке связью абонентов, но этого мало.

Ясно также, что ограничивать число обслуживаемых абонентов числом каналов явно нерационально, поскольку маловероятно, чтобы все абоненты захотели воспользоваться связью одновременно.

Следовательно, при каналах можно обслуживать более абонентов, хотя, разумеется, в некоторых случаях абоненты в ответ на вызов будут получать отказ, и тем чаще, чем больше число абонентов по сравнению с числом каналов.

Возникает вопрос: сколько абонентов можно обслужить в ячейке с каналами при заданной вероятности отказа?

Этот вопрос решается вероятностными методами.

Система сотовой связи, как и любая система телефонной связи, является примером системы массового обслуживания со случайным потоком заявок (вызовов), случайной продолжительностью их обслуживания (сеансов связи) и конечным числом каналов обслуживания (физических каналов).

Известно, что система телефонной связи исторически была первым примером системы массового обслуживания; в частности, в качестве первой математически корректной работы по теории массового обслуживания называют работу Эрланга «Теория вероятностей и телефонные разговоры», опубликованную в 1909 году.

Вероятностная модель

Поток вызовов

Очевидно поток вызовов, генерируемый пользователями сети, носит случайный характер.

Наиболее общей характеристикой случайного потока вызовов является средняя частота поступления вызовов , измеряемая числом вызовов в единицу времени — например, выз/ч.

Длительность обслуживания

Средняя продолжительность обслуживания одного вызова также является случайной величиной , измеряемая в единицах времени.

Произведение величин  дает средний трафик (интенсивность трафика, интенсивность нагрузки, поток нагрузки, нагрузка), измеряемый в эрлангах - в честь А. К. Эрланга (1878 – 1929 гг.).

Например, если  = 20 выз/ч, = 0,2 ч, то трафик (нагрузка) А = 4 эрл.

Заметим, иногда нагрузку обозначают греческой буквой ρ.

Для измерения величин  и могут использоваться любые единицы времени, но, во избежание недоразумений, удобнее, если в обоих случаях единицы измерения согласованы.

Характеристики нагрузки – среднюю частоту поступления вызовов , трафик А – обычно оценивают для часа пик, т.е. для часового интервала в период наибольшей нагрузки системы связи.

Частота поступления вызовов, являющаяся случайной величиной, обычно описывается распределением Пуассона.

Вероятность поступления  вызовов (дискретная случайная величина) за время :

Подробнее об оценке длительности обслуживания вызовов

При этом среднее число вызовов в интервале  и дисперсия числа вызовов на том же интервале равны соответственно

Входящий в выражение для  параметр   - это определенная выше средняя частота поступления вызовов (среднее число вызовов в единицу времени).

Продолжительность обслуживания одного вызова (длительность занятости канала связи) – непрерывная случайная величина  - описывается экспоненциальным распределением

соответствует среднее значение и дисперсия:

,

т.е. среднее совпадает с определенной выше средней продолжительностью обслуживания одного вызова.

Вызовы могут сбрасываться, т.е. аннулироваться (система с отказами), или становиться в очередь и ждать освобождения канала неопределенно долгое время, после чего обслуживаться в течение необходимого интервала времени (система с ожиданием), возможны промежуточные случаи, например, модели с ожиданием, но в течение ограниченных интервалов времени.

Система с отказами (модель Эрланга В)

В системе с отказами (модель Эрланга В; в английской терминологии — Lost-calls-cleared conditions, т.е. условия сброса вызовов, получивших отказ) вероятность отказа (вероятность поступления вызова в момент, когда все каналы заняты) определяется выражением

где – число каналов, A – трафик.

Система с ожиданием (модель Эрланга С)

В системе с ожиданием (модель Эрланга С) вероятность задержки (вероятность того, что поступивший вызов не обслуживается немедленно, а становиться в очередь)

— вероятность того, что все каналы свободны.

Система с ограничением времени ожидания (модель Эрланга А)

В системе с ограничение времени ожидания и времени обслуживания после ожидания (модель Эрланга А) вызов, поступивший в момент занятости всех каналов, становиться в очередь, но время ожидания не превышает среднего времени обслуживания (средней продолжительности разговора).

Если за это время хотя бы один канал освобождается, вызов занимает его на оставшуюся часть среднего времени обслуживания, после чего сбрасывается.

В такой системе вероятность отказа есть

При оценках емкости систем сотовой связи обычно используется модель Эрланга В (модель системы с отказами).

Ниже приведен график зависимости трафика от числа каналов для различных вероятностей отказа .

Вывод формулы Эрланга

Рассмотрим систему, которая может обслуживать одновременно m требований. Будем считать, что имеется m линий и очередное требование поступает на одну из линий, если хотя бы одна из них свободна; в противном случае поступающее требование получает отказ и уходит из сферы обслуживания.

Предположим, что поток требований является пуассоновским с параметром , требования обслуживаются независимо и время обслуживания каждого требования (на каждой из m линий) распределено по показательному закону с параметром .

Рассмотрим состояния где состояние означает, что занято ровно линий.

Переход системы из состояния в состояние с течением времени представляет собой марковский процесс, плотности перехода которого имеют вид

Действительно, переход из в осуществляется при поступлении очередного требования, что происходит за время  с вероятностью .

Вероятность того, что ни одна из занятых линий не освободится за время , есть  (поскольку линии обслуживаются независимо одна от другой) и вероятность освобождения одной из линий, т.е. перехода из состояния в есть .

Вероятность других изменений в системе за промежуток времени  есть .

Стационарные вероятности  могут быть найдены из уравнений:

Из этих уравнений получаем, что

Найденные выражения для стационарных вероятностей называются формулами Эрланга.

Дополнительную информацию по данной теме можно получить в книге Ю.А. Розанова Теория вероятностей, случайные процессы и математическая статистика: Учебник для вузов. - М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1985. - 320 с.

 

 

В начало

Содержание портала