Методы статистического контроля качества, часть 1

Постановка вопроса

Пример

Об определении контрольных нормативов

Статистический контроль доли дефектных изделий

Постановка вопроса

Идея статистических методов контроля качества продукции заключается в том, что о генеральных характеристиках испытуемой партии изделий судят по выбороч­ным характеристикам, определяемым по малой выборке из этой партии. Эта идея была высказана впервые еще в 1846 г. академиком М. В. Остроградским. В последние 15—20 лет статистические методы контроля качества продукции получили широкое распространение во многих отраслях промышленности. В настоящее время по этому вопросу имеется обширная литература.

Статистический контроль качества может проводиться в процессе производства (так называемый «текущий предупредительный контроль») либо по окончании производства (так называемый «приемочный» контроль).

Из-за случайности выборки возможны ошибки при оценке всей партии изделий по выборочным характеристикам.

Ошибка I рода заключается в том, что испытуемая годная (кондиционная) партия изделий оценивается по результатам выборки как негодная (некондиционная).

Ошибка II рода заключается в том, что испытуемая негодная (некондиционная) партия оценивается по результатам выборки как годная (кондиционная).

Обозначим вероятность ошибки I рода через α, а вероятность ошибки II рода через β.

В литературе величину α — вероятность забракования кондиционной продукции при ее приемке — называют часто:риском поставщика.

Величину β — вероятность пропуска брака при прием­ке изготовленной продукции — часто называют риском потребителя.

Очевидно, что рациональная организация статистиче­ского контроля заключается в том, чтобы сделать обе величины аир достаточно малыми (обычно их берут порядка 0,05—0,10).

Очень важным является правильный выбор границ между кондиционной и некондиционной продукцией.

Здесь возникает следующая трудность, которую мы поясним на примере.

Пример

Пусть в партии сопротивлений с номиналом 100 ом характеристикой качества является среднее квадратическое отклонение σ с величин сопротивлений от номина­ла.

Пусть партия считается дефектной (бракованной), если σ > 10 ом.

Очевидно, что трудно найти разумные основания для того, чтобы считать партию кондиционной, если у нее σ = 9,9 ом.

Эту трудность обычно преодолевают следующим образом. Устанавливают три категории качества продукции, например:

1) хорошая продукция σ < 5 ом,

2) допустимая продукция 5< σ < 10 ом,

3) брак σ 10 ом.

Ошибкой α первого рода называют наибольшую вероятность забраковать партию изделий первой категории.

Ошибкой β второго рода называют наибольшую вероятность принять партию изделий третьей категории.

При таком подходе не интересуются вероятностью приемки (и забракования) партий второй категории.

Практически это отвечает тому положению, что технология производства изделий обеспечивает их выпуск в основном на уровне первой категории.

Таким образом, граница продукции первой категории устанавливается, исходя из уровня производства.

Граница третьей категории обычно устанавливается, исходя из анализа условий применения и целевого назначения рассматриваемых изделий.

В случае продукции оборонной промышленности эта граница устанавливается, исходя из анализа условий боевого применения рассматриваемых изделий и влияния их параметров на боевую эффективность.

Об определении контрольных нормативов

Рассмотрим случай, когда оценка выборки из п изделий производится по некоторому параметру x_n этой выборки.

Пусть этому выборочному параметру x_n отвечает некоторый генеральный параметр x_G, характеризующий качество всей партии изделий.

Пусть партия изделий относится к первой категории при условии

x₀≤X₁ (1)

и к третьей категории при условии

x₀ ≥ X₂ (2)

где X₁ и X₂ — некоторые постоянные.

При применении метода однократной выборки устанавливаются два контрольных норматива: объем выборки п и оценочный норматив с. Партия изделий принимается при условии

x_n ≤ с, (3)

и бракуется при условии

x_n > с (4)

В этом случае вероятности ошибок первого и второго рода записываются так;

α = Вер (x_n > с при x₀= X₁,) (5)

β = Вер (x_n ≤ с при x₀= X₂). (б)

Если известны (заданы) величины α, β, X₁ и X₂, то из уравнений (5) и (6) можно однозначно определить контрольные нормативы п и c . В гл. 17—19 это показано на конкретных примерах.

При применении метода двукратной выборки устанавливаются пять контрольных нормативов: объемы выборок n₁ и n₂ и оценочные нормативы c₁, c₂ и c₃.

Сначала делается выборка объема nx и определяется выборочный параметр x_n1

Если

x_n1 ≤ c₁ (7)

то партия изделий принимается и повторяется выборка не производится.

Если

x_n1 > c₂, (8)

то партия изделий бракуется и повторяется выборка не производится.

Если

c₁< x_n1< c₂, (9)

то производится повторная выборка объема n₂, по которой определяется выборочный параметр x_п2.

Далее составляется некоторая функция f(x_n1, x_n2) и ее значение сравнивается с оценочным нормативом c₃.

Если имеет место условие

f(x_n1, x_n2) ≥ c₃ (10)

то партия изделий принимается, в противном случае партия бракуется.

В рассматриваемом случае можно записать

α =Bep(x_n1 > c₂ или f(x_n1,x_n2) > c₂ при x₀ = X₁) (11)

β =Bep(x_n1≤c₁ или f(x_n1,x_n2) ≤ c₂ при x₀ = X₂), (12)

Уравнений (11) и (12) недостаточно для определения величин n₁, n₂, c₁, c₂ и c₃ по заданным α, β, X₁ и X₂

Обычно добавляют еще условия n₁ = n₂ или n₂ — 2 n₁.

В ряде случаев принимают определенные соотношения между c₁, c₂ и c₃.

Рассмотрим теперь случай последовательного анализа. Пусть плотности распределения случайной величины x_n при x₀= X₁ и x₀= X₂ будут f(x_n, X₁) и f(x_n, X₂).

Отношением правдоподобия называется отношение

, (13)

Если при x₀ = X₁ на опыте получено x_n', то вероятность попадания опытного значения x_n в интервал от x_n' до x_n'+Δx_n равна (x_n',X₁)Δx_n.

Очевидно, что эта вероятность, как правило, больше, чем f(x'_n,X)Δx_n, так как опытное значение x_n' соответствует случаю x₀= X₁, а не x₀= X₂. Поэтому, как правило, при x₀= X₁ будет γ_n< l. Аналогично легко убедиться в том, что при x₀= X₂, как правило, будет γ_n>1.

Вальд обосновал следующую методику последова­тельного анализа. На опыте «последовательно увеличивается п и для каждого п определяется γn по уравнению (13).

Если выполняется неравенство

(14)

то испытания прекращаются и партия изделий принимается. Если выполняется неравенство

(15)

то испытания прекращаются и партия изделий бракуется.

При выполнении условия

(16)

испытания следует продолжать до тех пор, пока не будет иметь места условие (14) или (15). Эта методика обеспечивает риски поставщика и потребителя, равные соответственно α и β.

Заметим, что при заданных α и β метод последо­вательного анализа обеспечивает значительно меньший средний объем испытаний, чем метод однократной выборки.

Метод двукратной выборки в этом отношении занимает промежуточное место между двумя указанными выше методами..

Поэтому при испытаниях серийной продукции предпочтительнее метод последовательного анализа.

Метод, однократной выборки можно рекомендовать для испытаний опытных образцов, когда объем испытаний обычно, фиксируется заранее.

Метод двукратной выборки можно рекомендовать, для контроля серийной продукции в тех случаях, когда применение метода последовательного анализа оказывается неудобным по причинам техническим или организационным.

Статистический контроль доли дефектных изделий

Рассмотрим случай, когда контролю подвергается партия изделий достаточно большого объема N. Все N изделий, входящих в партию, по некоторому признаку делятся на две группы; кондиционные и дефектные.

Пусть число дефектных изделий в партии равно М.

Обозначим через S долю дефектных изделий в партии

S = (1)

По величине S1 партия изделий может быть разделена на 3 категории:

1) S ≤ S₁,

2) S₁< S < S₂,

3) и с S ≥ S₂

Величины S₁ и S₂ устанавливаются по соглашению между поставщиком изделий и их потребителем.

При статистическом контроле доли дефектных изделий делается случайная выборка в п изделий из партии и определяется число т дефектных изделий в выборке. Тогда доля дефектных изделий в выборке будет

S = (2)

В дальнейшем будем рассматривать только случаи, когда п мало ло сравнению с N (n < 0,1N),

В этих случаях можно принять, что случайная величина т имеет биномиальное распределение.

Если еще S мало по сравнению с 1 (S < 0,1), то можно принять, что случайная величина m имеет распределение Пуассона.

В настоящей главе рассматривается статистический контроль доли дефектных изделий в двух вариантах:

1) распределение m пуассоновское;

2) распределение m биномиальное.

Заметим, что в обоих вариантах математическое ожидание числа дефектных изделий в выборке будет равно

α = nS, (3)

При статистическом контроле доли дефектных изделий обычно в технических условиях задается норматив с таким образом, что при условии

m ≤ с, (4)

партия изделий оценивается удовлетворительно (принимается). В случае, когда

m > с, (5)

партия изделий оценивается неудовлетворительно (бракуется).

Для организации статистического контроля необходимо выбрать объем выборки при оценочный норматив с. Этот выбор делается с учетом риска поставщика и риска потребителя.

Риском поставщика называется вероятность α того, что партия первой категории с S = S1 будет в результате испытаний оценена неудовлетворительно

α=Вер(m > с, при S = S₁ ). (6)

Из уравнения (6) видно, что α — это наибольшая вероятность получить условие (5) для партий первой категории, так как при S < S₁ риск поставщика будет меньше, чем при S= S₁.

Риском потребителя называется вероятность α того, что партия третьей категории с S = S₂ будет в результате испытаний оценена удовлетворительно

β= Вер(m ≤ с при S = S₂ ). (7).

Из уравнения (7) видно, что β — это наибольшая вероятность получить условие (4) для партий третьей категории, так как при S > S₂ риск потребителя будет меньше, чем при S = S₂ .

Рациональная организация статистического контроля заключается в выборе n и с таким образом, чтобы риск α и β были достаточно малы. Решение этой задачи приводится в следующем параграфе.

Продолжение статьи см. во второй части "Методы статистического контроля, часть 2".

В начало

Содержание портала