Методы статистического контроля, часть 3: метод последовательного анализа

Случай распределения Пуассона
Случай биномиального распределения
Усеченный последовательный контроль
Контроль при помощи доверительных границ

Метод последовательного анализа

Случай распределения Пуассона

При контроле доли дефектных изделий методом последовательного анализа, полагая xn = m (где т — число дефектных изделий в выборке из п изделий), можно записать отношение правдоподобия, в виде

    (1)

где

    (2)

    (3)

    (4)

Из этих уравнений находим

    (5)

где  определяется по уравнению

    (6)

Введем обозначения

      (7)

    (7a)

Тогда, условия приемки и браковки запишутся соответственно в следующем виде:

    (8)

    (9)

Условия (8) и(9) можно переписать в таком виде

    (10)

,    (11)

Если заданы α, β,S1и S2, то уравнения (10) и (11) определяют линейную зависимость величин m' и т" от п. Если на горизонтальной оси откладывать значения п, а на вертикальной — соответствующие им опытные значения т, то прямые m' и m" разделяют плоскость на

три зоны: приемки, браковки и продолжения испытаний (рис. 80.1). Из уравнений (10) и (11) видно, что прямые m' и т" всегда параллельны, так как их угловые коэффициенты одинаковы, и равны

.    (12)

Для контроля по методу последовательного анализа можно заготовить графики прямых т' и т" и откладывать на них опытные точки (п, т). Когда опытные точки выйдут из зоны продолжения испытаний, то испытания заканчиваются. На рис. 80.1 кружками изображен пример, когда испытания закончились приемкой партии изделий.

Пример 1. Заданы  α=β= 0,10, S1 = 0,10 и S2= 0,20.Требуется найти условия  приемки и браковки.

Решение. Здесь имеем:

, , ,

,

В этом случае условие приемки будет

m ≤ 0,144n – 3,17

Так как всегда т ≥ 0, то наименьшее значение n'min при котором возможна приемка, будет равно

Это значит, что если среди первых 22 изделий не будет ни одного дефектного, то партию изделий можно принять.

В рассматриваемом случае условие браковки будет

m ≥ 0,144n+3,17.

Так как всегда т ≤ п, то наименьшее число n'min при котором возможна браковка, найдется из условия

n'mln = 0,1444+3,17.

откуда

n'min= 4.

Это значит, что если среди первых четырех изделий вce изделия будут дефектные, то (партию можно забраковать).

Случай биномиального распределения

В случае биномиального распределения уравнения (10) и (11) принимают вид

,    (13)

.    (14)

При малых S1 и S2 в уравнениях (13) и (14) можно сделать замену

    (15)

Тогда уравнения (13) и (14) можно переписать в таком виде:

    (16)

    (17)

где

    (18)

    (19)

    (20)

    (21)

Для упрощения расчетов по этим уравнениям в табл. 1 и 2 приведены значения некоторых вспомогательных функций.

Таблица 1

Таблица 2

Пример 2. Пусть так же, как в примере 1, имеем S1 = 0)10, S2 = 0,20, α= β = 0,10. Требуется найти условия приемки и браковки.

Решение. При помощи уравнений (16) —(21) и табл. 1 и 2 находим

,

.

Это решение, естественно, несколько отличается от решения примера 1.

В табл. 3 представлена зависимость т! и т" от п.

Здесь т' округлены до целых с недостатком, а т"— с избытком.

Этой таблицей можно пользоваться для контроля вместо графиков, представленных на рис. 80.1.

Таблица 3

Среднее число ncp изделий, которое необходимо испытать при методе последовательного анализа (для партии с долей S1 дефектных), находится по уравнению

    (22)

.    (23)

где

    (24)

    (25)

Значения С и N представлены в табл. 1 и 2. В условиях примера 2 получаем

Сравним метод последовательного анализа с методом однократной выборки. В случае однократной выборки мы имели объем выборки

,    (26)

где α определяется по таблице по заданным α, β и .

Из уравнений (23) и (26) находим

.    (27)

По уравнению (27) составлена табл. 4.

Таблица 4

Из таблицы видно, что метод последовательного анализа дает экономию в числе испытываемых изделий в пределах от   до    по сравнению с методом однократной выборки.

Усеченный последовательный контроль

Из проведенного выше cравнения метода последовательного контроля с методом однократной выборки видно, что преимуществом метода последовательного контроля является экономия в среднем числе испытываемых изделий. Серьезным недостатком метода последовательного контроля является то, что затрудняется планирование испытаний, так как заранее неизвестно, когда они закончатся. Проиллюстрируем это на условиях примера 1.

В этом примере при последовательном контроле минимальное число испытываемых изделий равно 22. Однако в отдельных случаях испытания могут потребовать и более 200 изделий.

Возникает вопрос, нельзя ли сочетать преимущества планирования, которые дает метод однократной выборки, с экономическими преимуществами метода последовательного контроля.

На этот вопрос можно ответить утвердительно: такой смешанный контроль существует и его можно назвать усеченным   последовательным   контролем.

Суть такого контроля заключается в следующем:

1)   испытания планируются по методу однократной выборки, согласно которому назначается максимальное число испытываемых изделий n0;

2)   испытания ведутся сначала по методу последовательного анализа, согласно которому производится оценка результатов испытаний;

3)   если испытания :по методу последовательного анализа не закончились при п ≤ n0, то при п = n0 производится оценка результатов испытаний по методу однократной выборки.

Поясним это на примере 1. По методу однократной выборки в условиях этого примера должно быть n0= 95, c = 13 . Поэтому планируем объем испытаний до n = 95.

Испытания ведем последовательно при п = 5; 10; 15; 20; 25; 30; 35; 40 и так далее и оцениваем их при помощи уравнений примера 1 или графиков на рис, 80.1. Если испытания не заканчиваются до n = 95, то при n = 95 мы оцениваем результат испытаний по методу однократной выборки. Если m ≤ 13, то партия изделий принимается, если m >13, то она бракуется.

Заметим, что при усеченном последовательном контроле несколько изменяются вероятности α и β. Однако при предлагаемом способе усечения контроля изменение этих вероятностей будет невелико и им можно пренебречь.

Контроль при помощи доверительных границ

Изложенный выше метод контроля предполагает знание двух уровней качества: S1 и S2. В случае контроля качества серийной продукции оба эти уровня обычно известны или могут быть установлены по опытным данным. Иначе обстоит дело при контроле качества опытной продукции, для  которой  обычно   известен   только один уровень S *, ниже которого потребитель считает продукцию неудовлетворительной.

В этом случае можно вести контроль, используя доверительные границы.

Пусть на контроль представлена партия изделий, у которой доля дефектных равна S. Эта партия считается удовлетворительной при условии

    (28)

и неудовлетворительной, если условие (28) не выполняется.

Рассмотрим сначала случай, когда при испытаниях не допускается появления дефектных изделий  (т = О).

В этом случае с заданной доверительной вероятностью α можно быть уверенным в том, что условие (28) выполняется, если в выборке из п изделий не будет дефектных и будет выполняться неравенство

    (29)

Отсюда находится объем выборки

    (30)

Пример 3. Заданы S* = 0,01 и α = 0,90. Требуется найти п.

Решение. Используя таблицу для α = 0,90, составляем табл. 5.

Таблица 5

Из этой таблицы видно, что наименьший объем выборки, при котором удовлетворяется условие (30), составляет n = 229.

Рассмотрим теперь случай, когда при испытаниях допускается т ≠ О.

В этом случае с заданной доверительной вероятностью α можно быть уверенным в том, что условие (28) выполняется, если в выборке из п изделий имеется такое число т дефектных, при котором выполняется неравенство

    (31)

Условие  (31)  является условием приемки партии изделий по результатам испытаний.

Если условие (31) не выполняется, то возможны два случая: либо

    (32)

либо

    (33)

Условие (32) означает, что с данной доверительной вероятностью можно быть уверенным в том, что условие (28) не выполняется, т. е. партия изделий является неудовлетворительной.

Условие (33) означает, что испытания следует продолжать, так как при выполнении этого условия нельзя оценить качество испытуемых изделий.

Таким образом, при помощи условий (31) —(33) можно оценивать качество контролируемых изделий аналогично тому, как это делалось выше по методу последовательного анализа. При этом риск потребителя равен 1—α.

Пример 4. Заданы S* = 0,01 и α = 0,90. На испытаниях получилось т=1 при п=150, т = 2 при п = 300 и сохранилось т = 2 при n = 600. Требуется оценить испытуемую партию изделий.

Решение. При помощи таблице и уравнений (31) и (32) составляем табл. 6.

Из этой таблицы видно, что при n = 150 и n — 300 выполнялось условие (33) и испытания были продолжены. При n = 600 выполняется условие (31) и партия изделий

Таблица 6

может быть оценена как удовлетворительная (она может быть принята).

В заключение отметим, что при малых S*, когда распределение случайной величины т близко к распределению Пуассона, в уравнениях (29) — (33) можно заменить R0, R1 и R2 на r0, r1 и r2 . Это использовано при составлении табл. 6.

В начало

Содержание портала