Методы статистического контроля, часть 2

Метод однократной выборки

Случай распределения Пуассона

Случай биномиального распределения при с = 0

Общий случай контроля при биномиальном распределении

Метод двукратной выборки

Метод однократной выборки

Случай распределения Пуассона

Рассмотрим сначала такую задачу. Заданы S₁ , S₂ , n, c. Требуется определить риски α и β. Из уравнения имеем

α = Bep (m > c)    (1)

при

α= nS₁    (2)

Из этих уравнений и уравнения (19, 20) находим

α = p,    (3)

где p определяется по таблице, в которой α определяется из уравнения (2), а q - из условия

,

откуда

,    (4)

В случае больших α можно воспользоваться уравнением , сохраняя в нем только один первый член.

Тогда будем иметь

α = Вер (m > с) = 1 — Вер (m < c+ 1) = 1—F₀ (t),    (5)

где

    (6)

Из уравнения имеем

    (7)

при

α' = nS₂    (8)

Из уравнения (7), (8) и (19,12) находим

    (9)

где p определяется по таблице, в которой α' определяется из уравнения (8), а q’- из условия

откуда

    (10)

В случае больших α' из условия получаем

α = Вер (m < c+ 1) = 1—F₀ (t)     (11)

где

    (12)

Таким образом, поставленная ниже задача решается при помощи уравнений (3), (5), (9) и (11).

Пример 1. Заданы S₁=0,10, S₂=0,20, n = 30, с = 4. Требуется определить α и β,

Решение. По уравнениям (2) и (4) определяем

Из таблицы находим α = р = 0,19. Далее по уравнениям (8) и (10) получаем

Из таблицы определяем β = 1 - p = 1—0,71 =0,29.

Пример 2. Заданы S₁ = 0,10, S₂ = 0,20, n = 300, с = 45. Требуется определить α и β.

Решение. По уравнениям (6) и (5) находим

Из уравнений (11) и (12) находим

Рассмотрим теперь такую задачу. Заданы S₁ , S₂, α и β. Требуется определить n и с. Эта задача имеет большое практическое значение — она возникает при разработке технических условий на контролируемые изделия.

Дадим сначала решение этой задачи для случая, когда п велико. Здесь из уравнений (5) и (6) находим

    (13)

где u_1-α — соответствующая квантиль нормального рас­пределения, определяемая из таблицы.

Аналогично из уравнений (11) и (12) находим

    (14)

Используя уравнения (2) и (4), можно уравнения. (13) и (14) переписать в следующем виде:

    (15)

    (16)

где введено обозначение

    (17)

Вычитая из уравнения (15) уравнение (16), получаем после простых преобразований

    (18)

откуда определяем α.

Из уравнения (15) находим

    (19)

где вместо α необходимо подставить его значение из уравнения (18).

Найдя α и q по уравнениям. (18) и (19), определяем искомые величины п и с из уравнений (2) и (4).

Пример 3. Заданы S₁ = 0,10, S₂= 0,20, α = 0,02 и β = 0,01. Требуется определить n и с.

Решение. По уравнению (17) находим η = 0,50. Из таблицы u_1-α = u_0,98 = 2,054, u_1-β = u0,99 = 2,326. Из уравнения (18) находим = 5,35, откуда α = 28,5, и из уравнения (19) определяем q = 0,73.

Теперь по уравнениям (2) и (4) находим искомое решение

Рассмотрим теперь случай, когда п невелико. В этом случае для решения поставленной задачи можно воспользоваться уравнениями (1) — (4), (7) — (10) и (17), а также таблицей. При помощи этих уравнений устанавливается зависимость между величинами α, β, η, α и с. Эта зависимость приведена в таблице. Здесь же приведено значение q по уравнению (4).

Порядок пользования таблицей следующий:

1. По уравнению (17) определяется значение η.
2. Из первой части таблицы по известным α, β, и η находится значение с.
3. Из второй части таблицы по известным α и с находится значение α.
4. По известным α и S₁ находится значение п из уравнения (2),

Пример 4. Заданы S₁=0,10, S₂=0,20, α = 0,20 и β= 0,10. Определить п и с.

Решение. По уравнению (17) находим η= 0,50. Из первой части таблицы находим с = 8. Из второй части таблицы определяем α=6,5. Далее по уравнению (2) находим

Пример 5. Заданы S₁ =0,10, S₂=0,20, α = β= 0,10. Найти п и с.

Решение. По уравнению (17) находим η = 0,50. По первой части таблицы находим с = 13. По второй части таблицы находим α = 9,5. Отсюда

Случай биномиального распределения при с = 0

Рассмотрим частный случай, когда условие приемки при контроле записывается в таком виде:

а условие браковки имеет вид

m > 0. (21)

В случае биномиального распределения и условия приемки (20) риск поставщика можно представить в следующем виде:

    (22)

В этом случае риск потребителя будет

    (23)

Для вычисления вероятностей α и β по уравнениям (22) и (23) удобно воспользоваться таблицей.

Как указывалось ранее, при n > 30 с достаточной для практики точностью можно воспользоваться уравнением. Тогда (22) и (23) можно записать в таком виде:

    (24)

    (25)

Из уравнений (24) и (25) вытекает зависимость nS₁ и nS₂ от α и β приведенная в табл. 1.

Таблица 1

0,20	0,223	0,20	1,61	0,14	7,2
0,10	0,105	0,10	2,30	0,046	22
0,05	0,051	0,05	3,00	0,017	59

Из табл. 1 видно, что рассматриваемый здесь способ контроля имеет смысл только при очень больших отношениях S₂ к S₁. Так, например, при α = β = 0,10 отношение S₂ к S₁ должно быть равно 22.

Рассмотрим еще один характерный пример.

Пример 6. Пусть заданы S₁= 0,01, S₂ = 0,03, с = 8, β = 0,10. Требуется найти объем испытаний и риск α поставщика.

Решение. Из табл. 1 для β = 0,10 находим nS₂ = 2,30. Отсюда получаем

По уравнению (24) находим

Это значит, что при таком методе контроля вероятность забракования кондиционной продукции составляет более 0,50, т. е. кондиционная продукция чаще будет браковаться, чем приниматься.

Таким образом, при малых отношениях S₂ к S₁ рассматриваемый метод контроля неприменим.

Общий случай контроля при биномиальном распределении

Рассмотрим общий случай, когда с ≠ О.

Тогда, используя уравнения можно записать в таком виде:

    (26)

где

    (27)

    (28)

где функция р = P₀ берется из таблицы для числа степеней свободы

    (29)

Аналогично по уравнению получаем

    (30)

где

    (31)

При помощи уравнения получаем

,    (32)

где число степеней свободы находится по уравнению (29).

Пример 7. Пусть, как в примере 4, заданы S₁ = 0,10, S₂ = 0,20, n = 65, с = 8. Требуется найти α и β.

Решение. Из уравнений (27) и (29) получаем

По таблице k=18. Находим = P₀(12,8) = 0,20.

Из уравнений (31) и (32) получаем

Сравнивая полученное решение с условием примера 4, мы видим, что риск β несколько уменьшился, а риск β остался без изменений. Это значит, что α = 0,20 и β = 0,10, как в примере 4, можно получить при n < 65.

Следует отметить, что вообще расчет для случая биномиального распределения дает более экономное решение, чем расчет для случая пуассоновского распределения. Поэтому можно рекомендовать следующий порядок определения нормативов контроля:

— сначала расчет ведут по уравнениям для случая закона Пуассона;

— затем результаты расчета уточняются путем проб при помощи уравнений (28) и (32).

Заметную экономию дает расчет по биномиальному закону при достаточно больших S₁ и S₂. В случае, когда S₁ и S₂ не превышают 0,10, решение по биномиальному закону практически совпадает с решением по закону Пуассона.

Метод двукратной выборки

При контроле части дефектных изделий методом дву­кратной выборки устанавливаются нормативы c₁, c₂ и c₃ для следующих условий:

1) условие приемки по первой выборке объема n₁

    (1)

где m₁— число дефектных изделий в первой; выборке;

2) условие браковки по первой выборке

    (2)

3) условие приемки после второй выборки объема n₂

    (3)

где m₂ — число дефектных изделий во второй выборке.

При этих условиях риски а и запишутся следующим образом:

    (4)

    (5)

где для краткости введены обозначения:

    (6-8)

В случае распределения Пуассона вероятности, стоящие в правых частях уравнений (4) и (5), вычисляются по формулам.

Следует заметить, что для наибольшей эффективности контроля при условиях (1) — (3) должно соблюдаться соотношение

    (9)

или

    (10)

Пример 8. Заданы S₁ = 0,10, S₂=0,20, n₁= n₂ = 30, c₁= 0,10, c₂ = 0,167, c₃= 0,133. Требуется найти α и β.

Решение. По уравнениям (6) —(8) находим:

Уравнение (4) принимает вид

Для вычисления всех этих вероятностей надо воспользоваться таблицы находим:

Из таблицы находим:

Уравнение (5) здесь принимает вид

Для определения этих вероятностей надо воспользоваться таблицей, полагая

Из таблицы находим

.

Сравним на этом примере метод двукратной выборки с методом однократной выборки.

Задаваясь для метода однократной выборки значениями S₁= 0,10, S₂=0,20, α=0,16 и β = 0,22, подучим путем подбора при помощи таблицы.

α = 4,5 и q=0,745.

Из уравнения (2) находим n = 45.

Рассмотрим случай, когда на испытания подано 100 кондиционных партий изделий. При их контроле по методу однократной выборки необходимо затратить 100х45-4500 изделий.

При контроле по методу двукратной выборки вероятность приемки партии после первой выборки равна

Вер (т, < 3) = 1 — Вер (т, > 3) = 1 — 0,35 = 0,65.

Это значит, что в среднем из 100 партий 65 будут, приняты после первой выборки, для 35 партий потребуется вторая выборка. Поэтому средний расход изделий на контроль 100 партий изделий по методу двукратной выборки будет

65X30 + 35X60 = 4050 изделий.

Отсюда видно, что при методе двукратной выборки получается экономия (по числу контролируемых изделий) в размере; 10% (в условиях рассмотренного примера).

Продолжение статьи см. далее "Методы статистического контроля, часть 3".

В начало

Содержание портала