Страхование жизни

Введение

Страховые договоры с выплатами в момент смерти

Страховые договоры с постоянными страховыми выплатами

Смешанное страхование

Отсроченное страхование

Введение

Страховые системы предназначены для уменьшения неблагоприятных финансовых последствий случайных событий определенного вида. Лица или организации, включенные в эти системы, руководствуются моделями полезности для выражения своих предпочтений, стохастическими моделями для выражения неопределенности финансовых последствий и экономическими принципами при ценообразовании. Соглашения достигаются после проведения анализа этих моделей.

В статье Модели индивидуальных рисков на коротком интервале времени была рассмотрена элементарная модель финансовых последствий случайных событий, в которой заранее не известны ни тот факт, что событие непременно наступит, ни размер последствий такого события. В этой модели время действия страхового договора предполагалось достаточно коротким, вследствие чего неопределенность инвестиционного дохода можно игнорировать.

Теперь мы будем развивать модели страхования жизни, предназначенные для уменьшения финансовых последствий такого случайного события, как безвременная смерть.

Из-за долгосрочного характера этого вида страхования величина инвестиционного дохода, получаемого вплоть до момента выплаты, привносит значительный элемент неопределенности.

Эта неопределенность имеет две причины: неизвестная доходность и неизвестная продолжительность инвестиционного периода. На протяжении всего изложения для моделирования неопределенности, связанной с инвестиционным периодом, будет использоваться некоторое распределение вероятностей.

Для неопределенных инвестиционных доходов рассматривается детерминистическая модель. Т.е., наша модель будет построена в терминах функции Т, случайной величины, называемой продолжительностью предстоящей жизни.

Хотя все рассуждения будут проводиться применительно к страхованию человеческих жизней, используемые идеи без изменения можно применять к другим объектам, таким, как оборудование, станки, кредиты и коммерческие предприятия.

На самом деле рассматриваемая общая модель полезна в любой ситуации, где величину и время финансовых последствий можно выразить лишь в терминах времени наступления случайного события.

Страховые договоры с выплатами в момент смерти

В этой главе предполагается, что величина и время выплаты по договору страхования на случай смерти зависят только от длины интервала с момента заключения договора страхования до момента смерти страхователя. В описании модели будут использоваться функция страховых выплат b_t и функция дисконтирования v_t.

В рамках нашей модели v_t является коэффициентом дисконтирования от момента выплаты к моменту заключения страхового договора (т. е. назад), причем t является длиной интервала времени от момента заключения договора до момента смерти страхователя.

Если речь идет о смешанном страховании, которое рассматривается ниже, то t может быть больше или равно длине интервала времени от заключения договора до момента выплаты.

При такой функции дисконтирования будем предполагать, что соответствующая интенсивность начисления процента является детерминированной. Это означает, что модель не предусматривает вероятностного распределения для интенсивности начисления процента.

Обычно мы будем выписывать простые формулы, вытекающие из предположения о том, что интенсивность начисления процента не только детерминирована, но и постоянна.

Определим функцию настоящей (или текущей) стоимости z_t формулой

     (2.1)

Таким образом, z_t обозначает настоящую стоимость страховой выплаты на момент заключения договора.

Время, прошедшее с момента заключения договора до момента смерти страхователя, является продолжительностью предстоящей жизни страхователя. Эта случайная величина обозначается через Т = Т(х).

Настоящая стоимость страховой выплаты на момент заключения договора является случайной величиной z_t. Если ситуация не требует введения более сложных обозначений, мы обозначаем эту случайную величину через Z и в качестве основы для страховой модели принимаем соотношение

     (2.2)

Случайная величина Z — пример случайной величины, описывающей страховые выплаты, и, в частности, слагаемого X_i в сумме, описывающей модель индивидуальных рисков, определенную равенством (1.1). Эта модель используется в дальнейшем при рассмотрении приложений к страховым портфелям. Сейчас рассмотрим вероятностную модель для с.в. Z.

Первый этап анализа страхования жизни состоит в определении величин b_i и V_t. Следующим этапом будет определение некоторых характеристик вероятностного распределения с.в. Z, которые будут вытекать из предположений о распределении с.в. Т. Проанализируем эти этапы применительно к нескольким стандартным видам страхования. Сводка результатов будет дана в табл. 2.1.

Страховые договоры с постоянными страховыми выплатами

Страхование на случай смерти на срок n лет (в отличие от бессрочного страхования (см. далее) страхование такого типа называют срочным) предполагает, что страховая выплата осуществляется только в случае, если страхователь умрет в течение n лет с момента заключения договора страхования. Если в момент смерти лица (х) про­изводится выплата размера единица, то

В этих определениях используются три соглашения.

Во-первых, поскольку продолжительность предстоящей жизни — неотрицательная величина, мы определяем b_t, v_t и Z только на множестве неотрицательных чисел.

Во-вторых, для значения t, при котором функция b_t равна нулю, значение v_t не существенно. Для таких t мы задаём значения v_t из соображений удобства.

В-третьих, если не оговорено противное, интенсивность начисления процента предполагается постоянной.

Математическое ожидание случайной величины Z, обозначающей настоящую стоимость, называется актуарной настоящей стоимостью страхования.

Отметим, что математическое ожидание настоящей стоимости множества выплат, обусловленных наступлением ряда событий, в разных ситуациях называется по-разному (нетто-премия, математическое ожидание настоящей стоимости выплат).

Актуарная настоящая стоимость страхования, при котором производится выплата размера единица, чаще всего обозначается через А. Возраст страхователя на момент вычисления указывается в индексе. То, в какой форме этот возраст указывается, зависит от предположений о смертности. Для актуарной настоящей стоимости для лица (40) возраст может быть представлен, например, в виде [40], 40 или [20] +20.

Квадратные скобки показывают наличие селекции в этом возрасте и, следовательно, необходимость использовать, начиная с этого возраста, селекционные таблицы смертности.

Возраст, не заключенный в квадратные скобки, указывает на использование агрегативных или заключительных таблиц. Поэтому запись [20] +20 означает вычисление для лица 40 лет на основе селекционной таблицы, начиная с возраста 20.

Актуарная настоящая стоимость E[Z] для страхования на срок n лет с выплатой размера единица в момент смерти лица (х) обозначается через А1x:n. Эта величина может быть вычислена, если заметить, что с.в. Z является функцией от T, а именно E[Z] = E[zT]. Тогда мы воспользуемся функцией плотности с.в. T и получим

  (2.3)

Момент j-го порядка распределения с.в. Z можно найти следующим образом:

Второй интеграл показывает, что момент j-ого порядка с.в. Z равен актуарной настоящей стоимости страхования на срок n лет с выплатой величины единица в момент смерти лица (x), рассчитанной, исходя из интенсивности начисления процента, равной заданной интенсивности начисления процента, умноженной на j, т.е. j.

Это свойство, которое мы называем правилом моментов, в общем случае справедливо для страховых договоров, согласно которым выплачивается сумма размера 1 при неслучайной интенсивности начисления процента, постоянной или нет. Точнее (здесь и далее символ @ эквивалентен выражению «вычисленное при»),

  (2.4)

В дополнение к существованию моментов достаточным условием выполнения правила моментов является соотношение b_tj = b_t для всех t > 0, т.е. для каждого t величина выплаты равна 0 или 1.

Из правила моментов следует, что

  (2.5)

где 2A1x:n| является актуарной настоящей стоимостью страхования на срок n лет с выплатой размера 1 при интенсивности начисления процента 2 .

Бессрочное страхование на случай смерти предполагает выплату по смерти страхователя, в какой бы момент в будущем она бы ни произошла.

Если величина выплаты составляет единицу и выплата производится в момент смерти лица (х), то

  

Актуарная настоящая стоимость равна   (2.6)

Для лица, прошедшего селекцию в возрасте х, возраст которого в настоящий момент равен х + h, соответствующее выражение имеет вид

Бессрочное страхование на случай смерти является предельным случаем для страхования на случай смерти на срок n лет при n —>.

Пример 2.1. Пусть функция плотности продолжительности предстоящей жизни Т для лица (х) имеет вид

Для с.в. Z, обозначающей настоящую стоимость бессрочного страхования на случай смерти с выплатой размера единица, заключенного с лицом (х), при интенсивности начисления процента δ, вычислим

(a) актуарную настоящую стоимость,

(b) дисперсию,

(c) девяностую персентиль, .

Решение.

(a)

(b) По правилу моментов

(с) Для непрерывной случайной величины Z мы имеем P(Z ) = 0,9. Поскольку мы располагаем функцией плотности с.в. T, а не с.в. Z, мы должны определить событие для с.в. Т, которое соответствует событию Z .

Из рис. 2.1, который показывает связь между выборочным пространством с.в. Т (по горизонтальной оси) и выборочным пространством с.в. Z (по вертикальной оси), мы видим, что = v. Поскольку в случае бессрочного страхования на случай смерти с.в. Z является строго убывающей функцией от T, персентиль распределения с.в. T, отвечающая девяностой персентили распределения с.в. Z, соответствует дополнительному уровню 0,1. В этом примере с.в. T равномерно распределена на интервале (0,80), так что = 8,0 и потому = v8,0.

Рис.2.1. Связь между с.в. Z и T для бессрочного страхования на случай смерти

График на рис.2.1. можно использовать для установления связей между функциями распределения и плотности с.в. Z и T:

для z0 множество {Zz}является множеством вероятности нуль;

для 0 z 1 имеет место равенство {Zz} = {T ln z /ln v}

для z 1 множество {Zz} является множеством вероятности единица.

Таким образом,

  (2.7)

Дифференцируя формулу (2.7), получаем

  (2.8)

Пример 2.2. В предложениях примера 2.1 определим

(a) функцию распределения с.в. Z,

(b) функцию плотности с.в. Z.

Решение.

(a) Из соотношения видим, что P(T > 80) = 0, так что P(0 < Z < v80) = 0. Поэтому в силу формулы (2.7)

 

(b) дифференцируя функцию распределения из п. (a), получим

Пример 2.3. Предположим, что каждое из 100 независимых лиц

• имеет возраст х,

• подвержено постоянной интенсивности смертности , = 0,04,

• заключило договор страхования с выплатой 10 единиц в момент смерти.

Страховые выплаты производятся из средств инвестиционного, фонда, причем = 0,06. Рассчитаем минимальную величину фонда h в момент t = 0, чтобы средств для страховых выплат на случай смерти каждого из страхователей оказалось достаточно с вероятностью приблизительно 0,95.

Решение. Для каждого лица

Будем считать, что страхователи каким-либо образом перенумерованы, например, номерами заключенных с ними договоров.

Тогда в момент t = 0 настоящая стоимость всех предстоящих выплат равна где Z_j является настоящей стоимостью в момент времени t = 0 той выплаты, которую придется произвести в момент смерти лица с номером j.

Для того чтобы подсчитать среднее и дисперсию, заметим, что с.в. Z равна случайной величине, являющейся умноженной на 10 настоящей стоимостью бессрочного страхования на случай смерти с выплатой размера единица.

Для постоянной интенсивности начисления процента и постоянной интенсивности смертности актуарная настоящая стоимость бессрочного страхования жизни с выплатой величины единица равна

Таким образом, для нашего примера

       и D[Z] = 9.

Используя эти значения среднего и дисперсии каждого из слагаемых в сумме S, мы получим

Е[S] = 100(4) = 400, D[S] = 100(9) = 900.

Необходимая минимальная величина h фонда определяется из соотношения

P(S h) = 0,95

или, что эквивалентно,

Применяя нормальную аппроксимацию (т.е. полагая , где Ф - функция стандартного нормального распределения), получаем вкачестве приближенного к искомому значению h

 

Замечания.

1. Разница между начальным капиталом, равным 449,35, и математическим ожиданием настоящей стоимости всех платежей, равным 400, составляющая 49,35, является рисковой надбавкой из гл. 1. Надбавка на одно лицо составляет 0,4935, или 4,935% на выплату размера 1, или 12,34% актуарной настоящей стоимости.

2. Этот пример использует модель индивидуальных рисков и нормальную аппроксимацию распределения с.в. S. В примерах, относящихся к коротким временным интервалам, полные поступления, равные ожидаемым выплатам плюс рисковая надбавка, определялись так, чтобы с большой вероятностью превосходить сумму выплат.

В рассмотренном примере с большим интервалом времени полные поступления плюс проценты на них при заданной процентной ставке определялись так, чтобы их хватало для покрытия выплат по договорам. Начальный капитал в размере 449,35 покроет менее чем 45% ожидаемых в конце концов выплат, равных 1000.

3. На рис. 2.2 показан график величины фонда за первые 2 года при такой схеме выплат, что в каждый из моментов времени 1/8, 7/8, 9/8, 13/8 и 15/8 происходит одна смерть, а в момент 10/8 происходят две смерти. В промежутках между страховыми выплатами, которые на графике соответствуют разрывам, график показательный. Он представляет рост фонда,соответствующий = 0,06.

Рис. 2.2. График динамики величины фонда

4. Подобных схем выплат бесконечно много, и у каждой свой график. Как число страховых выплат.

Так и моменты времени, когда эти выплаты происходят, влияют на фонд. Например, если вместо схемы, изображенной на рис. 2.2. семь выплат произойдут одновременно в самый первый момент, размер фонда сразу же сократится до 379,35 и затем возрастет до 427,72 к концу второго года.

Приведенные примеры иллюстрируют три различные случайные составляющие конструкции модели рисков, а именно, произойдет или нет страховая выплата, каков будет ее размер и в какое время будет произведена выплата, если она произойдет. В примере 5.2 имелась лишь неопределенность, произойдет выплата, или нет.

В примере 2.2 имелась неопределенность лишь относительно времени выплаты. В этих моделях иные неопределенности не рассматривались. В примерах 2.1, 2.2 и 2.3 мы не рассматривали возможность того, что увеличение капитала может происходить за счет начисления процентов с недетерминированной процентной ставкой.

Смешанное страхование

Страхование на дожитие на срок n лет предполагает выплату по истечении n лет в том и только в том случае, когда страхователь будет жив по прошествии n лет с момента заключения страхового договора. Если выплачиваемая сумма составляет единицу, то

Единственным элементом неопределенности в страховании на дожитие является факт, произойдет или не произойдет страховая выплата. Размер и время произведения выплаты при условии, что выплата произойдет, определены заранее.

В выражении Z = vnY величина Y является индикатором события «дожитие до возраста х + n». Эта величина принимает значение 1, если страхователь доживет до возраста х + n, и значение 0 в противном случае.

Для обозначения актуарной настоящей стоимости страхования на дожитие на срок n лет имеется два символа. В страховом контексте это величина А1x:n| . Существует несколько форм записи,

        (2.9)

и

Смешанное страхование на срок n лет предполагает выплату либо по смерти страхователя, либо по дожитии им до истечения n-летнего срока, в зависимости от того, что случится раньше. Если размер выплаты — единица и если выплаты на случай смерти производятся в момент смерти, то

Актуарная настоящая стоимость обозначается через Аx:n | . Поскольку для смешанного страхования b_t = 1, по правилу моментов мы имеем

Кроме того,

          (2.10)

Такое страхование можно рассматривать как комбинацию страхования на случай смерти на срок n лет и страхования на дожитие на срок n лет — в каждом случае с выплатой размера 1.

Пусть Z₁, Z₂ и Z₃ — случайные величины, обозначающие настоящую стоимость договора срочного страхования, страхования на дожитие и смешанного страхования соответственно, в каждом из которых страховая выплата производится в момент смерти лица (х). Из предыдущих определений мы имеем

Отсюда следует, что

Z₃ = Z₁+Z₂,       (2.11)

и, беря математические ожидания от обеих частей, мы получаем

       (2.12)

С помощью равенства (2.11) мы можем также найти D[Z₃]:

     (2.13)

Воспользовавшись формулой   (2.14) и заметив, что Z₁Z₂ = 0 для всех T, мы получим

  (2.15)

Подстановка формул (2.5), (2.9) и (2.15) в (2.13) приводит к формуле для D[Z₃] в терминах актуарной настоящей стоимости для страхования на случай смерти на срок n лет и для страхования на дожитие.

Поскольку актуарные настоящие стоимости положительны, величина Соv(Z₁, Z₂) отрицательна. Это можно было понять заранее, поскольку одна величина из пары Z₁ и Z₂ всегда нулевая, а другая положительная.

С другой стороны, коэффициент корреляции между с.в. Z₁ и Z₂ не равен - 1, поскольку эти величины не связаны линейной зависимостью.

Отсроченное страхование

Страхование, отсроченное на m лет, предполагает выплату сразу после смерти страхователя только в том случае, если он умрет не раньше, чем через m лет после заключения страхового договора. Выплачиваемая сумма и срок, на который заключен договор, могут быть любыми из обсуждавшихся выше.

Например, бессрочное страхование на случай смерти, отсроченное на m лет, с выплатой в момент смерти страхователя суммы, равной единице, определяется соотношениями

Актуарная настоящая стоимость такого страхования обозначается через m|Ах и равна

  (2.16)

В начало

Содержание портала