Модели краткосрочного страхования

Нетто-премия

Защитная надбавка

Модель индивидуальных потерь

В актуарной математике модели страхования жизни условно делятся на две большие группы в зависимости от того, принимается или нет в расчет доход от инвестирования собранных премий.

Если нет, то мы говорим о краткосрочном страховании (short-term insurance); обычно  качестве такого «короткого» интервала мы будем рассматривать интервал в 1 год. Если же да, то мы говорим о долгосрочном страховании (long-term insurance).

Конечно, это деление условно и, кроме того, долгосрочное страхование связано с рядом других обязательств, например, андеррайтингом.

Простейший вид страхования жизни заключается в следующем.

Страхователь платит страховой компании р руб. (эта сумма называется страховой премией – premium); страхователем может быть сам застрахованный или другое лицо (например, его работодатель).

В свою очередь страховая компания обязуется выплатить лицу, в пользу которого заключен договор, страховую сумму (sum assured) b руб. в случае смерти застрахованного в течение года по причинам, перечисленным в договоре (и не платит ничего, если он не умрет в течение года или умрет по причине, которая не покрывается договором).

Страховая сумма часто принимается как 1 или 1000. Это означает, что премия выражается как доля от страховой суммы или на 1000 страховой суммы соответственно.

Нетто-премия

Величина страховой выплаты (benefit), конечно много больше, чем страховая премия, и нахождение «правильного» соотношения между ними — одна из важнейших задач актуарной математики.

Вопрос о том, какую плату страховая компания должна назначить за то, что принимает на себя тот или иной риск, крайне сложен.

При его решении учитывается большое число разнородных факторов: вероятность наступления страхового случая, его ожидаемая величина и возможные флуктуации, связь с другими рисками, которые уже приняты компанией, организационные расходы компании на ведение дела, соотношение между спросом и предложением  по данному виду рисков на рынке страховых услуг и т. д.

Однако основным обычно является принцип эквивалентности финансовых обязательств страховой компании и застрахованного. 

В рассмотренной выше простейшей схеме страхования, когда плата за страховку полностью вносится в момент заключения договора, обязательство застрахованного выражается в уплате премии p. Обязательство компании заключается в выплате страховой суммы, если наступит страховой случай.

Таким образом, денежный эквивалент обязательств страховщика, Х, является случайной величиной:

	если наступил страховой случай
	в противоположном случае

В простейшей форме принцип эквивалентности обязательств выражается равенством 

,

т.е. в качестве платы за страховку назначается ожидаемая величина убытка. Эта премия называется нетто-премией (net premium).

Защитная надбавка

Купив за фиксированную премию p руб. страховой полис, страхователь избавил выгодоприобретателя от риска финансовых потерь, связанных с неопределенностью момента смерти застрахованного. Однако сам риск не исчез, его приняла на себя страховая компания.

Поэтому равенство на самом деле не выражает эквивалентности обязательств страхователя и страховщика. Хотя в среднем и страховщик, и страхователь платят одну и туже сумму, страховая компания имеет риск, связанный с тем, что в силу случайных обстоятельств ей, ей может быть, придется выплатить гораздо большую сумму, чем . Страхователь же такого риска не имеет.

Поэтому было бы справедливо, что плата за страховку включала бы надбавку , которая служила бы эквивалентом случайности, влияющей на компанию.

Эту надбавку называют страховой (или защитной) надбавкой (или нагрузкой) (security loading), а — относительной страховой надбавкой  (relative security loading).

Величина защитной надбавки определяется такой, чтобы вероятность того, что компания будет иметь потери о некоторому портфелю договоров («разорится»), была достаточно малой величиной.

Следует отметить, что реальная плата за страховку (брутто-премия или офисная премия) — больше нагруженной нетто-премии (часто в несколько раз). Разница между ними позволяет страховой компании покрыть административные расходы, обеспечить доход и т.д.

Модель индивидуальных потерь

Точный расчет защитной надбавки может быть произведен в рамках теории риска.

Простейшей моделью функционирования страховой компании, предназначенной для расчета вероятности разорения, является модель индивидуального риска.

В основе модели лежат предположения:

1. Анализируется фиксированный относительно короткий промежуток времени (так что можно пренебречь инфляцией и не учитывать доход от инвестированных активов) — обычно это один год;
2. Число договоров страхования фиксировано и неслучайно;
3. Премия полностью вносится в начале анализируемого периода; никаких поступлений в течение этого периода нет;
4. Мы наблюдаем каждый отдельный договор страхования и знаем статистические свойства связанных с ними индивидуальных потерь .

Обычно предполагается, что в модели индивидуального риска случайные величины — независимы (в частности, исключаются катастрофы, когда одновременно о нескольким договорам наступают страховые случаи).

В рамках этой модели «разорение» определяется суммарными потерями по портфелю . Если эти суммарные выплаты больше, чем активы компании, предназначенные для выплат по этому блоку бизнеса, , то компания не сможет выполнить все свои обязательства (без привлечения дополнительных средств); в этом случае говорят о «разорении».

Итак, вероятность «разорения» равна .

Иными словами, вероятность «разорения» — это дополнительная функция распределения величины суммарных потерь компании за рассматриваемый промежуток времени.

Поскольку суммарные выплаты представляют собой сумму независимых случайных величин, распределение случайной величины может быть подсчитано с помощью классических теорем и методов теории вероятности.

Прежде всего — это использование сверток. Напомним, что если и — две независимые неотрицательные случайные величины с функциями распределения и соответственно, то функция распределения их суммы может быть подсчитана по формуле

Применяя эту формулу несколько раз, можно подсчитать функцию распределения суммы любого числа слагаемых.

Если случайные величины и — непрерывны, то обычно работают с плотностями и . Плотность суммы может быть подсчитана по формуле

Если случайные величины и — целочисленные, то вместо функции распределения обычно работают с распределениями

Распределение суммы может быть определено по формуле

Подсчет вероятности разорения часто упрощается, если использовать производящие функции и/или преобразования Лапласа.

Обычно число застрахованных в страховой компании очень велико. Поэтому подсчет вероятности разорения предполагает расчет функции распределения суммы большого числа слагаемых. В этом случае точный непосредственный численный расчет может привести к проблемам, связанным с малостью вероятностей.

Однако обстоятельство, затрудняющее точный расчет, открывает возможность быстрого и простого приближенного расчета.

Это связанно с тем, что при росте вероятность часто имеет определенный предел (обычно нужно, чтобы X определенным образом менялось вместе с ), который можно принять в качестве приближенного значения этой вероятности. Точность подобных приближений обычно очень велика и удовлетворяет практической потребности.

Основным является нормальное (гауссовское) приближение.

Гауссовское приближение основано на центральной предельной теореме теории вероятностей. В простейшей формулировке эта теорема выглядит следующим образом.

Если случайные величины независимы и одинаково распределены со средним ES_n  и дисперсией , то при функция распределения центрированной и нормированной суммы

имеет предел, равный

Существуют многочисленные обобщения центральной предельной теоремы на случаи, когда слагаемые имеют разные распределения, являются зависимыми и т.д. Детальное обсуждение этого вопроса увело бы нас слишком далеко в сторону от изучаемого предмета.

Поэтому мы ограничимся утверждением , что если число слагаемых велико (обычно достаточно, чтобы имело порядок несколько десятков), а слагаемые не очень малы и не очень разнородны, то применимо гауссовское приближение для

Конечно это утверждение очень неопределенно, но и классическая центральная предельная теорема без точных оценок погрешности не дает ясного указания на сферу применения.

Калькулятор вероятностных распределений позволяет вычислить процентные точки функции .

В начало

Содержание портала