Уважаемые посетители Портала Знаний, если Вы найдете ошибку в тексте, выделите, пожалуйста, ее мышью и нажмите Сtrl+Enter. Мы обязательно исправим текст!


Случайная цитата


Ум заключается не только в знании, но и в умении прилагать знание на деле. (Аристотель)

Модели индивидуальных рисков на коротком интервале времени

Введение

Случайные величины, описывающие индивидуальные выплаты

Суммы независимых случайных величин

Приближения для распределения суммы

Приложения к страхованию

Введение

Лицо, принимающее решения, может использовать страхование для уменьшения неблагоприятного финансового воздействия некоторых типов случайных событий.

Но это рассмотрение весьма общее, так как под лицом, принимающим решения, мог подразумеваться как отдельный человек, ищущий защиту от ущерба, причиняемого собственности, сбережениям или доходам, так и организация, ищущая защиту от того же рода ущерба.

На самом деле такой организацией может оказаться страховая компания, которая ищет способы защитить себя от финансовых потерь из-за слишком большого числа страховых случаев, произошедших с отдельным ее клиентом или с ее страховым портфелем. Такая защита называется перестрахованием.

Рассмотрим одну из двух моделей (а именно модель индивидуальных рисков) широко используемых в определении страховых тарифов и резервов, а также в перестраховании.

Обозначим через S величину случайных потерь страховой компании по некоторой части ее рисков. В этом случае S является случайной величиной, для которой мы должны определить распределение вероятностей. Исторически для распределений с.в. S имелось два набора постулатов. Модель индивидуальных рисков определяет S следующим образом:

    ,        (1.1)

где с.в. бозначает потери, причиненные объектом страхования с номером i, а n обозначает общее количество объектов страхования.

Обычно предполагается, что являются независимыми случайными величинами, поскольку в этом случае проще математические расчеты и не требуется сведений о характере зависимости между ними. Второй моделью является модель коллективных рисков.

Рассматриваемая модель индивидуальных рисков не отражает изменения ценности денег с течением времени. Это делается для упрощения модели, и именно поэтому в заглавии статьи говорится о коротком интервале времени.

Будем рассматривать только замкнутые модели, т.е. те, в которых число объектов страхования n в формуле (1.1) известно и зафиксировано в самом начале рассматриваемого интервала времени. Если мы вводим предположения о наличии миграции из или в страховую систему, то получаем открытую модель.

Случайные величины, описывающие индивидуальные выплаты

Сначала напомним основные положения, касающиеся страхования жизни.

При страховании на случай смерти на срок один год страховщик обязуется выплатить величину b, если страхователь умрет в течение года с момента заключения договора страхования, и не выплачивает ничего, если страхователь проживет этот год.

Вероятность наступления страхового случая в течение указанного года обозначается через .

Случайная величина , описывающая страховые выплаты, имеет распределение, которое может задаваться либо функцией вероятностей

                         (2.1)

либо соответствующей функцией распределения

                                   (2.2)

Из формулы (2.1) и из определения моментов получаем

                  (2.3)

                                 (2.4)

Эти формулы можно также получить, записав X в виде

            (2.5)

где — постоянная величина, выплачиваемая на случай смерти, а — случайная величина, принимающая значение 1 при наступлении смерти и 0 в противном случае.

Таким образом,   и , и среднее значение и дисперсия с.в. равны и соответственно, а среднее значение и дисперсия с.в. равны и , что совпадает с выписанными выше формулами.

Случайная величина с областью значений {0,1} широко применяется в актуарных моделях.

В учебниках по теории вероятностей она называется индикаторомбернуллиевской случайной величиной или биномиальной случайной величиной в схеме единственного испытания.

Мы будем называть ее индикатором из соображений краткости, а также потому, что она указывает наступление, , или не наступление, , рассматриваемого события.

Перейдем к поиску более общих моделей, в которых величина страховой выплаты также является случайной величиной и в рассматриваемом интервале времени может произойти несколько страховых случаев.

Страхование на случай болезни, страхование автомобилей и прочих видов собственности, а также страхование гражданской ответственности сразу же предоставляют множество примеров. Обобщая формулу (2.5), положим

     (2.6)

где - случайная величина, описывающая страховые выплаты в рассматриваемом интервале времени, с.в. обозначает общую величину выплат в этом интервале и с.в. является индикатором для события, состоящего в том, что произошел по меньшей мере один страховой случай.

Являясь индикатором такого события, с.в. фиксирует наличие () или отсутствие () страховых случаев в этом интервале времени, но не количество страховых случаев в нем.

Вероятность по-прежнему будет обозначаться через .

Обсудим несколько примеров и определим распределение случайных величин и в некоторой модели.

Рассмотрим сначала страхование на случай смерти на срок один год с дополнительной выплатой, если смерть наступила в результате несчастного случая.

Для определенности предположим, что если смерть произошла в результате несчастного случая, то величина выплаты составит 50000. При наступлении смерти по прочим причинам величина выплаты составит 25000.

Предположим, что для лица данного возраста, состояния здоровья и профессии вероятность смерти в результате несчастного случая в течение года равна 0,0005, а вероятность смерти по прочим причинам равна 0,0020. В виде формулы это выглядит так:

   и     

Суммируя по всем возможным значениям , получим

,

так что

.

Условное распределение с. в. при условии имеет вид

Рассмотрим теперь страхование автомобилей от столкновений (возмещение выплачивается собственнику автомобиля за ущерб, нанесенный его автомобилю) с величиной безусловной франшизы 250 и с максимальным размером выплаты 2000.

Для наглядности предположим, что вероятность наступления одного страхового случая в рассматриваемый период времени для отдельного лица составляет 0,15, а вероятность наступления более чем одного столкновения равна нулю:

,              .

Нереалистическое предположение о том, что в течение одного периода может произойти не более одного страхового случая, делается для того, чтобы упростить распределение с.в. .

Мы откажемся от этого предположения в следующем разделе после того, как рассмотрим распределение суммы нескольких страховых случаев.

Поскольку является величиной выплат страховщика, а не ущербом, нанесенным автомобилю, мы можем рассматривать две характеристики, и .

Во-первых, событие включает в себя те столкновения, в которых ущерб меньше, чем безусловная франшиза, которая равна 250.

Во-вторых, распределение с.в. будет иметь "сгусток" вероятностной массы в точке максимального размера страховых выплат, который равен 2000.

Предположим, что вероятностная масса, сосредоточенная в этой точке, равна 0,1. Далее, предположим, что величину страховых выплат в интервале от 0 до 2000 можно моделировать непрерывным распределением с функцией плотности, пропорциональной для (На практике непрерывная кривая, которая выбирается для представления распределения страховых выплат, является результатом исследований размеров выплат в предыдущем периоде.)

Суммируя эти предположения об условном распределении с.в. при условии , мы приходим к распределению смешанного типа, имеющему положительную плотность в интервале от 0 до 2000 и некоторый «сгусток» вероятностной массы в точке 2000. Это иллюстрируется графиком на рис. 2.2.1.

Функция распределения этого условного распределения выглядит так:

Рис.2.1. Функция распределения с.в. В при условии I = 1

Вычислим математическое ожидание и дисперсию в рассматриваемом примере с автомобильным страхованием двумя способами.

Во-первых, выпишем распределение с.в. и воспользуемся им для расчета и . Обозначая через функцию распределения с.в. , имеем

          (2.7)

Для x<0

Для

Для

Это распределение смешанного типа. Как показано на рис. 2.2, оно имеет как дискретную («сгусток» вероятностной массы в точке 2000), так и непрерывную часть. Такой функции распределения соответствует комбинация функции вероятностей

,             (2.8)

Рис. 2.2. Функция распределения с.в. X = IB

и функции плотности

Моменты с.в. X можно подсчитать следующим образом:

  (2.9)

В частности, и . Поэтому .

Имеется ряд формул, связывающих моменты случайных величин с условными математическими ожиданиями. Для математического ожидания и для дисперсии эти формулы имеют вид

   (2.10)

  (2.11)

Подразумевается, что выражения в левых частях этих равенств вычисляются непосредственно по распределению с.в. . При вычислении выражений в правых частях, а именно и , используется условное распределение с.в. при фиксированном значении с.в. .

Эти выражения являются, таким образом, функциями с.в. , и мы можем вычислить их моменты, используя распределение с.в. .

Условные распределения используются во многих актуарных моделях, и это позволяет непосредственно применять выписанные выше формулы. В нашей модели . Рассматривая с.в. в качестве и с.в. в качестве , получаем

             (2.12)

    (2.13)

Запишем

   ,                   (2.14)

   ,                        (2.15)

и рассмотрим условные математические ожидания

                             (2.16)

       (2.17)

Формулы (2.16) и (2.17) определяют как функцию от с.в. , что может быть записано в виде следующей формулы:

       (2.18).

Значит,

     (2.19)

      (2.20)

Так как при   , то                  (2.21)

Для мы имеем и      (2.22)

Формулы (2.21) и (2.22) можно объединить:       (2.23)

Таким образом,               (2.24)

Подставляя (2.21), (2.20) и (2.24) в (2.12) и (2.13), мы получаем

          (2.25)

 (2.26)

Применим полученные формулы для вычисления и в примере автомобильного страхования (рис. 2.2). Поскольку функция плотности с.в. В при условии выражается формулой

причем P(B=2000|I=1) = 0,1, мы имеем

Наконец, полагая q = 0,15, из формул (2.25) и (2.26) мы получим следующие равенства:

,

Для описания другой страховой ситуации можно предложить другие модели для с.в. .

Пример: модель для числа смертей в результате авиационных катастроф

В качестве примера рассмотрим модель для числа смертей, произошедших в результате авиационных катастроф за годичный период деятельности авиакомпании.

Мы можем начать со случайной величины , описывающей число смертей для одного рейса, а потом просуммировать такие случайные величины по всем рейсам за год.

Для одного рейса событие будет обозначать наступление авиакатастрофы. Число смертей, которое повлекла за собой эта катастрофа, будет представляться произведением двух случайных величин и ,где — коэффициент загруженности самолета, т. е. число лиц, находившихся на борту в момент авиакатастрофы, и — доля смертельных исходов среди лиц, находившихся на борту.

Число смертей представляется именно таким образом, поскольку раздельная статистика для величин и бывает более доступной, чем статистика для с.в. . Итак, Хотя доля смертельных исходов среди лиц, находившихся на борту, и число лиц, находившихся на борту, вероятно, связаны между собой, в качестве первого приближения можно предположить, что с.в. и независимы.

Суммы независимых случайных величин

В модели индивидуальных рисков страховые выплаты, производимые страховой компанией, представляются как сумма выплат многим отдельным лицам.

Напомним два метода определения распределения суммы независимых случайных величин. Рассмотрим сначала сумму двух случайных величин,, выборочное пространство которых изображено на рис. 3.1.

Рис. 2.3.1. Событие

Прямая и область, находящаяся под этой прямой, представляют собой событие . Поэтому функция распределения с.в. S имеет вид   (3.1)

Для двух дискретных неотрицательных случайных величин мы можем воспользоваться формулой полной вероятности и записать (3.1) в виде

    (3.2)

Если X и Y независимы, последняя сумма может быть переписана в виде

             (3.3)

Функция вероятностей, соответствующая этой функции распределения, может быть найдена по формуле

             (3.4)

Для непрерывных неотрицательных случайных величин формулы, соответствующие формулам (3.2), (3.3) и (3.4), имеют вид

Когда либо одна, либо обе случайные величины X и Y имеют распределение смешанного типа (что характерно для моделей индивидуальных рисков), формулы аналогичны, но более громоздки. Для случайных величин, которые могут принимать также отрицательные значения, суммы и интегралы в приведенных формулах берутся по всем значениям у от до .

В теории вероятностей операция в формулах (3.3) и (3.6) называется сверткой двух функций распределения и и обозначается через . Операция свертки может также быть определена для пары функций вероятностей или функций плотности с помощью формул (3.4) и (3.7).

Для определения распределения суммы более чем двух случайных величин мы можем использовать итерации процесса взятия свертки. Для , где являются независимыми случайными величинами, обозначает функцию распределения с.в., а является функцией распределения с.в.  , мы получим

Пример 3.1 иллюстрирует эту процедуру для трех дискретных случайных величин.

Пример 3.1. Случайные величины , и независимы и имеют распределения, которые определяются столбцами (1), (2) и (3) приведенной ниже таблицы.

Выпишем функцию вероятностей и функцию распределения с.в.

Решение. В таблице используются обозначения, введенные перед примером:

• В столбцах (1)-(3) содержится имеющаяся информация.

• Столбец (4) получен из столбцов (1) и (2) с применением (3.4).

• Столбец (5) получен из столбцов (3) и (4) с применением (3.4).

Определение столбца (5) завершает нахождение функции вероятностей для с.в. . Ее функция распределения в столбце (8) является набором частичных сумм столбца (5), начиная сверху.

Для наглядности мы включили столбец (6), функцию распределения для столбца (1), столбец (7), который можно получить непосредственно из столбцов (1) и (6), применяя (2.3.3), и столбец (8), определяемый аналогично по столбцам (3) и (7). Столбец (5) можно определить из столбца (8) последовательным вычитанием.

Перейдем к рассмотрению двух примеров с непрерывными случайными величинами.

Пример 3.2. Пусть с.в. имеет равномерное распределение на интервале (0,2), и пусть с.в. не зависит от с.в. и имеет равномерное распределение на интервале (0,3). Определим функцию распределения с.в.

Решение. Поскольку распределения с.в. и непрерывны, воспользуемся формулой (3.6):

Тогда

Выборочное пространство с.в. и иллюстрируется рис. 3.2. Прямоугольная область содержит все возможные значения пары и . Интересующее нас событие, , изображается на рисунке для пяти значений s.

Для каждого значения прямая пересекает ось Y в точке s и прямую в точке . Значения функции  для этих пяти случаев описываются следующей формулой:

Рис. 3.2. Свертка двух равномерных распределений

Пример 3.3. Рассмотрим три независимые с.в. . Для с.в. имеет показательное распределение и . Найдем функцию плотности с.в. , применяя операцию свертки.

Решение. Имеем

Воспользовавшись формулой (3.7) трижды, мы получим

Другой метод определения распределения суммы независимых случайных величин основан на единственности производящей функции моментов, которая для с.в. определяется соотношением .

Если это математическое ожидание конечно для всех t из некоторого открытого интервала, содержащего начало координат, то является единственной производящей функцией моментов распределения с.в. в том смысле, что не существует другой функции, отличной от , которая была бы производящей функцией моментов распределения с.в. .

Эту единственность можно использовать следующим образом: для суммы

(3.8)

Если независимы, то математическое ожидание произведения в формуле (3.8) равно ..., так что

   (3.9)

Нахождение явного выражения для того единственного распределения, которое соответствует производящей функции моментов (3.9), завершило бы нахождение распределения с.в. . Если указать его в явном виде не удается, то можно проводить его поиск численными методами.

Пример 3.4. Рассмотрим случайные величины из примера 3.3. Определим функцию плотности с.в. , пользуясь производящей функцией моментов с.в. .

Решение. Согласно равенству (3.9), что можно записать в виде с помощью метода разложения на простейшие дроби. Решением является . Но является производящей функцией моментов показательного распределения с параметром , так что функция плотности с.в. имеет вид

Пример 3.5. При исследовании случайных процессов было введено обратное гауссовское распределение. Оно используется в качестве распределения с.в. В, величины страховых выплат. Функция плотности и производящая функция моментов обратного гауссовского распределения задаются формулами

Найдем распределение с.в., где с.в. независимы и имеют одинаковые обратные гауссовские распределения.

Решение. Воспользовавшись формулой (3.9), получим следующее выражение для производящей функции моментов с.в. :

Производящей функции моментов соответствует единственное распределение, и можно убедиться, что имеет обратное гауссовское распределение с параметрами и .

Приближения для распределения суммы

Центральная предельная теорема дает метод нахождения численных значений для распределения суммы независимых случайных величин. Обычно эта теорема формулируется для суммы независимых и одинаково распределенных случайных величин, где .

Для любого n распределение с.в. где = , имеет математическое ожидание 0 и дисперсию 1. Как известно, последовательность таких распределений (при n = 1, 2, ...) стремится к стандартному нормальному распределению. Когда n велико эта теорема применяется, чтобы приблизить распределение с.в. нормальным распределением со средним μ и дисперсией . Аналогично, распределение суммы n случайных величин приближается нормальным распределением со средним и дисперсией.

Эффективность такой аппроксимации зависит не только от числа слагаемых, но и от близости распределения слагаемых к нормальному. Во многих элементарных курсах статистики указывается, что n должно быть не меньше 30 для того, чтобы аппроксимация была разумной.

Однако одна из программ для генерации нормально распределенных случайных величин, используемых в имитационном моделировании, реализует нормальную случайную величину в виде среднего 12 независимых равномерно распределенных на интервале (0,1) случайных величин.

Во многих моделях индивидуальных рисков случайные величины, входящие в суммы, не являются одинаково распределенными. Это будет проиллюстрировано примерами в следующем разделе.

Центральная предельная теорема распространяется и на последовательности неодинаково распределенных случайных величин.

Для иллюстрации некоторых приложений модели индивидуальных рисков мы воспользуемся нормальной аппроксимацией распределения суммы независимых случайных величин, чтобы получить численные решения. Если , то

и далее, если с.в. независимы, то        

Для рассматриваемого приложения нам нужно лишь:

  • найти средние и дисперсии случайных величин, моделирующих индивидуальные потери,
  • просуммировать их для того, чтобы получить среднее и дисперсию потерь страховой компании в целом,
  • воспользоваться нормальным приближением.

Ниже мы проиллюстрируем эту последовательность действий.

Приложения к страхованию

В этом разделе на четырех примерах иллюстрируется использование нормального приближения.

Пример 5.1. Компания, занимающаяся страхованием жизни, предлагает договор страхования на случай смерти на срок один год с выплатами размера 1 и 2 единиц лицам, вероятности смерти которых составляют 0,02 или 0,01. Приводимая ниже таблица показывает число лиц nk в каждом из четырех классов, образованных в соответствии с выплатой bk и вероятностью наступления страхового случая qk:

k qk bk nk
1 0,02 1 500
2 0,02 2 500
3 0,10 1 300
4 0,10 2 500

Страховая компания хочет собрать с этой группы из 1800 лиц сумму, равную 95-й процентили распределения общей величины страховых выплат по этой группе. Кроме того, она хочет, чтобы доля каждого лица в этой сумме была пропорциональна ожидаемому размеру страховой выплаты для данного лица.

Доля лица с номером , средняя выплата которому равна , должна составить . Из требования 95-й процентили следует, что . Величина превышения, , является рисковой надбавкой, а называется относительной рисковой надбавкой. Подсчитаем .

Решение. Величина определяется соотношением = 0,95, где S = X1 + X2 + ... + X1800. Это утверждение о вероятности эквивалентно следующему:

В соответствии с тем, что говорилось о центральной предельной теореме в разд. 4, мы аппроксимируем распределение с.в. стандартным нормальным распределением и воспользуемся его 95-й процентилью, откуда получаем:

Нам остается лишь подсчитать математическое ожидание и дисперсию с.в. и найти из этого уравнения.

Для четырех классов, на которые разбиты страхователи, мы получаем приведенные ниже результаты:

k qk bk Среднее bkqk Дисперсия b2kqk(1-qk) nk
1 0,02 1 0,02 0,0196 500
2 0,02 2 0,04 0,0784 500
3 0,10 1 0,10 0,0900 300
4 0,10 2 0,200,3600 500

Таким образом,

Поэтому относительная рисковая надбавка равна

Пример 5.2. Клиенты компании, занимающейся страхованием автомобилей, распределены по двум классам:

Класс Число в классе

Вероятность наступления

страхового случая

Распределение страховых выплат,

параметры усеченного показательного

распределения

k L
1 500 0,10 1 2,5
2 2000 0,05 2 5,0
 

Усеченное показательное распределение определяется посредством функции распределения

Это распределение смешанного типа с функцией плотности , и «сгустком» вероятностной массы в точке L. График этой функции распределения показан на рис.5.1.

 Рис. 5.1. Усеченное показательное распределение

Как и ранее, вероятность того, что общая величина страховых выплат превосходит сумму, собранную со страхователей, должна быть равной 0,05. Мы предположим, что относительная рисковая надбавка должна быть одинаковой в каждом из двух рассматриваемых классов. Вычислим .

Решение. Этот пример очень похож на предыдущий. Разница состоит лишь в том, что величины страховых выплат являются теперь случайными величинами.

Сначала мы получим выражения для моментов усеченного показательного распределения. Это будет подготовительный шаг для применения формул (2.25) и (2.26):

Воспользовавшись значениями параметров, данными в условии, и применяя формулы (2.25) и (2.26), мы получаем следующие результаты:

k qk μk σ2k Среднее qkμkДисперсия μ2kqk(1-qk)+σ2kqknk
1 0,10 0,9139 0,5828 0,091790,13411500
2 0,05 0,5000 0,2498 0,02500 0,024362000

Итак, S, общая сумма страховых выплат, имеет моменты

,

.

Условие для определения остается тем же, что и в примере 5.1, а именно,

Воспользовавшись снова аппроксимацией нормальным распределением, получаем

Пример 5.3. В портфель страховой компании входит 16 000 договоров страхования на случай смерти на срок один год согласно следующей таблице:

Величина выплат Число страхователей
bk nk
10000 8000
20000 3500
30000 2500
50000 1500
100000 500

Вероятность наступления страхового случая q для каждого из 16 000 клиентов (эти события предполагается взаимно независимыми) равна 0,02. Компания хочет установить уровень собственного удержания. Для каждого страхователя уровень собственного удержания является величиной, выплаты ниже которой эта компания (компания-цедент) осуществляет самостоятельно, а выплаты, превосходящие эту величину, покрываются по договору перестрахования другой компанией (перестраховщиком).

Например, если уровень собственного удержания равен 200 000, то компания оставляет за собой покрытие суммы до 20 000 для каждого страхователя и покупает перестрахование для покрытия разницы между страховой выплатой и суммой 20 000 для каждого из 4500 страхователей, страховые выплаты для которых превосходят сумму 20 000.

В качестве критерия для принятия решения компания выбирает минимизацию вероятности того, что страховые выплаты, оставленные на собственном удержании, плюс та сумма, которая платится за перестрахование, превзойдет сумму 8 250 000. Перестрахование стоит 0,025 на единицу покрытия (т.е 125% от ожидаемой величины страховых выплат за единицу 0,02).

Мы считаем, что рассматриваемый портфель замкнут: новые страховые договоры, заключенные в течение текущего года, не будут учитываться в описанном процессе принятия решения.

Требуется рассчитать уровень собственного удержания, который минимизирует вероятность того, что оставленные на собственном удержании страховые выплаты плюс стоимость перестрахования превысят сумму в 8 250 000.

Частичное решение. Проведем сначала все вычисления, выбрав за единицу выплат 10 000. В качестве иллюстрации предположим, что с. в. S является величиной выплат, оставленных на собственном удержании, имеет следующий вид:

Величина на собственном удержании Число страхователей
bk nk
1 8000
2 8000

Тогда

К этим страховым выплатам, оставленным на собственном удержании, S, прибавляется сумма перестраховочных премий. Итого, общая величина покрытия по такой схеме составляет

Сумма, оставленная на собственном удержании, равна

Таким образом, общая перестрахованная величина составляет 35 000-24 000=11 000 и стоимость перестрахования составляет

Значит, при уровне собственного удержания, равном 2, оставленные на собственном удержании страховые выплаты  плюс стоимость перестрахования составляют . Критерий для принятия решения основан на вероятности того, что эта общая сумма превзойдет 825,

Используя нормальное распределение, мы получаем, что эта величина приблизительно равна 0,0062.

Средние значения страховых выплат при страховании эксцедента убыточности, как одного из видов перестрахования, можно аппроксимировать, пользуясь нормальным распределением в качестве распределения общих страховых выплат.

Пусть общие страховые выплаты Х имеют нормальное распределение со средним и дисперсией, и пусть обозначает безусловную франшизу в договоре страхования эксцедента убыточности. Тогда средняя величина страховых выплат равна

(5.1)

Делая замену переменных и определяя из соотношения , мы получаем следующее общее выражение для среднего значения величины страховых выплат по договору страхования эксцедента убыточности в предложении, что распределение нормально: 

  (5.2)

Здесь через обозначена функция распределения случайной величины со стандартным нормальным распределением.

Пример 5.4. Рассмотрим страховой портфель, как в примере 5.3. Найдем математическое ожидание величины страховых выплат при договоре страхования эксцедента убыточности, если

(а) индивидуальное перестрахование отсутствует и безусловная франшиза установлена равной 7 500 000

(b) установлено собственное удержание в размере 20 000 по индивидуальным страховым договорам и величина безусловной франшизы по портфелю составляет  5 300 000.

Решение.

(а) При отсутствии индивидуального перестрахования и при переходе к 10 000 в качестве денежной единицы

таким образом,

Далее, поскольку

применение формулы (5.2) дает

что составляет сумму 43 770 в исходных единицах.

(b) В примере 5.3 мы получили среднее и дисперсию суммарной величины страховых выплат при индивидуальном уровне собственного удержания 20 000, равные 480 и 784 соответственно, если рассматривать 10 000, в качестве единицы. Таким образом, =28.

Так как

применение формулы (5.2) дает

что составляет сумму 4140 в исходных единицах.


В начало

Содержание портала

Курсы по актуарной математике