Уважаемые посетители Портала Знаний, если Вы найдете ошибку в тексте, выделите, пожалуйста, ее мышью и нажмите Сtrl+Enter. Мы обязательно исправим текст!


Случайная цитата


Свои способности человек может узнать, только попытавшись приложить их. (Сенека)

Основные сведения о матрицах

В этом разделе мы даем основные сведения о матрицах, необходимые для понимания статистики и анализа данных.

Матрицей размера m x n (читается m на n) называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов.

Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы.

Матрицы обозначаются прописными (заглавными) буквами латинского алфавита, например, A, B, C,….

Для обозначения элементов матрицы используются строчные буквы с двойным индексом, например: aij, где i - номер строки, j - номер столбца.

Например, матрица:

В сокращенной записи обозначаем A=(aij); i=1,2,…m; j=1,2,…,n

Приведем пример матрицы 2 на 2: 

Вы видите, что a11 = 1, a12 = 0, a21 = 2, a22=5

Наряду с круглыми скобками используются и другие обозначения матрицы: 

Две матрицы A и B одного размера называются равными, если они совпадают поэлементно, aij = bij для любых i=1,2,…m; j=1,2,…n

Виды матриц

Матрица, состоящая из одной строки, называется матрицей (вектором)- строкой, а из одного столбца - матрицей (вектором)- столбцом:

A=(a11,a12,…,a1n) - матрица - строка

B=

Матрица называется квадратной n-го порядка, если число ее строк равно числу столбцов и равно n.

Например, 

Элементы матрицы aij, у которых номер столбца равен номеру строки образуют главную диагональ матрицы. Для квадратной матрицы главную диагональ образуют элементы a11, a22,…,ann.

Если все недиагональные элементы квадратной матрицы равны нулю, то матрица называется диагональной.

Операции над матрицами

Над матрицами, как и над числами, можно производить ряд операций, причем некоторые из них аналогичны операциями над числами, а некоторые - специфические.

1. Умножение матрицы на число. Произведение матрицы А на число  называется матрица B=A, элементы которой bij=aij для i=1,2,…m; j=1,2,…n

Следствие: Общий множитель всех элементов матрицы можно выносить за знак матрицы.

В частности, произведение матрицы А на число 0 есть нулевая матрица.

2. Сложение матриц. Суммой двух матриц А и В одинакового размера m называется матрица С=А+В, элементы которой cij=aij+bij для i=1,2,…m; j=1,2,…n (т.е. матрицы складываются поэлементно).

3. Вычитание матриц. Разность двух матриц одинакового размера определяется через предыдущие операции: A-B=A+(-1)∙B.

4. Умножение матриц. Умножение матрицы А на матрицу В определено, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй. Тогда произведением матриц Am∙B kназывается такая матрица Cm, каждый элемент которой cij равен сумме произведений элементов i-ой строки матрицы А на соответствующие элементы j-го столбца матрицы В:


i=1,2,…,m; j=1,2,…,n

Многие свойства, присущие операциям над числами, справедливы и для операций над матрицами (что следует из этих операций):

A+B=B+A

(A+B)+C=A+(B+C)

λ (A+B)= λA+ λB

A(B+C)=AB+AC

(A+B)C=AC+BC

λ (AB)=( λA)B=A(λB)

A(BC)=(AB)C

Однако имеются и специфические свойства матриц. Так, операция умножения матриц имеет некоторые отличия от умножения чисел:

a)      Если АВ существует, то после перестановки сомножителей местами произведение матриц ВА может и не существовать.

b)      Если АВ и ВА существуют, то они могут быть матрицами разных размеров.

5. Транспонирование матрицы - переход от матрицы А к матрице А', в которой строки и столбцы поменялись местами с сохранением порядка. Матрица А' называется транспонированной относительно матрицы А:

Из определения следует, что если матрица А имеет размер m, то транспонированная матрица А' имеет размер n

В литературе встречаются и другие обозначения транспонированной матрицы, например, АТ


Связанные определения:
Вырожденная матрица
Обобщенная обратная матрица
Обратная матрица
Плохо обусловленная матрица
Псевдообратная матрица
Эрмитова матрица
Эрмитово-сопряженная матрица

В начало

Содержание портала