Уважаемые посетители Портала Знаний, если Вы найдете ошибку в тексте, выделите, пожалуйста, ее мышью и нажмите Сtrl+Enter. Мы обязательно исправим текст!


Случайная цитата


Чтобы правильно задать вопрос, нужно знать большую часть ответа. (Шекли)

Обзор численных методов

Численные методы это увлекательное и чрезвычайно важное направление современной математики, связанное с вычислениями на компьютере и решением сложных задач.

Чистая математика изучает движение чисел - арифметика, движение фигур – геометрия, но как числа соединяются с реальным миром? Как от формул перейти к окружающему нас миру?

Ответ на это дают численные методы, математика, соединенная с силой компьютера, позволяет заглянуть вглубь реального мира, промоделировать сложнейшие физические, технические и биологические процессы.

Наблюдая процессы реального мира, мы вначале описываем их вербально, пытаясь понять суть явлений, далее строим математические модели.

Однако, мы не хотим ограничиваться построением формальных моделей, а хотим получить качественное и количественное представление об изучаемых процессах, увидеть их на графиках.

Именно здесь нам на помощь приходят компьютеры и численные методы.

Представьте, нам требуется исследовать какой-либо сложный физический или биологический процесс, например, понять законы кровообращения или движения газа в жидкостях.

Мы можем вербально описать эти процессы, выделить главные закономерности, сформулировать основные законы, которым подчиняется данный процесс. Это вербальная или словесная, логическая модель.

Затем мы пытаемся выразить эти законы в виде математических уравнений, например, дифференциальных или интегральных уравнений, но чтобы познать процесс, мы должны идти дальше и решить эти уравнения.

Что понимается под словом решить? Здесь начинается волшебство. Компьютер позволит нам увидеть тот же процесс, но в виде чисел. Этот удивительный момент требует серьезного рассмотрения.

Большинство реальных процессов описывается нелинейными уравнениями, которые лишь в первом приближении можно заменить линейными.

Возникает вопрос: как решать эти уравнения, какова точность решения, вот здесь и вступают в свои права численные методы.

Только в исключительных случаях математические уравнения, описывающие реальные процессы, можно решить в явном виде. Иногда говорят, что доказано существование и единственность решения, но где это решение в явном виде, каковы его свойства, что мы можем сказать о поведении этого процесса через определенное время и в определенных условиях.

Нам нужно получить это решение в явном виде, если это молекулярный процесс, то вплоть до поведения отдельных молекул.

Именно это и есть передовые рубежи современного естествознания.

В известном смысле удивительно, что странные манипуляции компьютера приводят к потрясающим выводам, позволяют заглянуть вглубь природы, именно здесь проявляется сила компьютеров, творящих новую действительность и моделирующих природу.

Замечательно, что есть математические принципы нахождения компьютерных решений с заданной точностью.

Под численными методами в широком смысле можно понимать интерпретацию математической модели на языке, доступном компьютеру.

Например, если математическая модель представлены в виде дифференциального уравнения, то численным методом может быть разностное уравнение, приближающее исходное дифференциальное.

Для того чтобы использовать компьютер, мы должны составить программу, реализующую данный численный метод.

Самое замечательное то, что используя компьютер, мы находим свойства процесса, о которых ранее могли только догадываться.

Итак, основу вычислительного эксперимента составляет триада: математическая модель – метод и алгоритм решения – компьютерная программа.

Каждый член этой триады важен и без него нельзя провести по-настоящему глубокого исследования.

В чем состоит искусство?

Одной и той же модели можно сопоставить множество разнообразных дискретных моделей, однако не все они подходят для практического использования.

Вычислительные алгоритмы должны удовлетворять определенным требованиям. Дискретная модель должна быть комплементарна компьютеру.

Можно выделить две группы требований к вычислительным алгоритмам: адекватность исходной задаче и эффективная компьютерная реализуемость.

Адекватность включает в себя сходимость метода, выполнение математических аналогов законов сохранения, качественно правильное поведение метода, его соответствие модели.

Численный метод сходится, если при увеличении числа уравнений решение дискретной задачи стремится к решению исходной задачи.

Заметим, что компьютер оперирует лишь с конечным числом уравнений, поэтому необходимо оценивать погрешность дискретной модели в зависимости от числа уравнений.

Искусство состоит в том, чтобы построить дискретную модель небольшой размерности, вполне адекватную исходной задаче.

Предположим, мы имеем обыкновенные дифференциальные уравнения или уравнения в частных производных.

Вначале мы дискретизируем задачу, заменяя область изменения аргумента дискретным множеством точек или сеткой, непрерывное время также заменяется дискретными моментами, далее мы аппроксимируем производные и переходим к конечно-разностным отношениям.

В результате мы получаем приближенное описание реального процесса системой алгебраических уравнений. Известно, что дифференциальные уравнения, описывающие физические процессы, являются следствиями законов сохранения, поэтому разумно требовать, чтобы для разностных схем также выполнялись законы сохранения.

Такие схемы называются консервативными, именно они наиболее адекватно отражают поведение решения исходной задачи.

Корректность численного метода должна соответствовать корректности исходной задачи, иными словами, однозначной разрешимости и непрерывной зависимости от исходных данных.

Компьютерная реализация метода включает требования по памяти и времени, метод должен быть реализуем за определенное время на данном компьютере с учетом его быстродействия и памяти.

Материал данного раздела располагается в такой последовательности: решение систем линейных уравнений, решение нелинейных уравнений, решение систем нелинейных уравнений, решение дифференциальных уравнений, методы интерполяции.

Мы стараемся максимально популярно изложить материал и надеемся, что он будет с интересом воспринят физиками, биологами, инженерами, врачами, всеми людьми, интересующимися современной компьютерной аналитикой.


В начало

Содержание портала