Наглядная геометрия

Предисловие главного редактора Портала Знаний:

Мы предлагаем вашему вниманию замечательную книгу Гильберта и Кон-Фоссена "Наглядная геометрия".

Самым замечательным в этой книге является то, что сложные рассуждения можно увидеть зрительно и решение сложной задачи получается непосредственно из чертежа или графика. Традиция видения решения идет от древних греков.

Такие геометрические представления очень полезны в современной аналитике.

Мы дополнили книгу несколькими задачами, позволяющими читателю поупражняться в проведении рассуждений.

Надеемся, что чтение избранных глав этой прекрасной книги доставит удовольствие читателям.

Если читатель по-настоящему увлечется геометрией, то можно познакомиться с несколькими главами из книги Евклида, отрывки из которой тоже можно найти на нашем портале.

Предисловие автора

В нашей книге это очень часто проявляется. При большом разнообразии материала было все же необходимо придать каждой отдельной главе известную законченность и в последующих главах не предполагать полного знания предыдущих; путем отдельных маленьких повторений мы надеялись достигнуть того, что каждая отдель­ная глава, а иногда даже отдельные разделы представ­ляют интерес сами по себе и в отдельности доступны пониманию читателя. Пусть читатель прогуливается в ог­ромном саду геометрии, в котором каждый может соста­вить себе такой букет, какой ему нравится.

Основу этой книги составили четырехчасовые лекции «Наглядной геометрии», которые я читал зимой 1920/21 г. в Геттингене и которые обработал В. Роземан. В ос­новном содержание и построение их остались неизмен­ными. В деталях С. Кон-Фоссен многое переработал и частично расширил.

Давид Гильберт

Геттинген, июнь 1932 г.

Глава I

Простейшие кривые и поверхности

Плоские кривые

Простейшая поверхность — плоскость, простейшие кривые — плоские кривые, простейшая среди последних — прямая.

Пря­мую можно определить либо как кратчайший путь между двумя точками, либо как линию пересечения двух плоскостей, либо как ось вращения.

Следующей — в порядке возрастания сложности — кривой является окружность. Уже эта кривая послужила исходной точкой для столь многочисленных и столь глубоких исследований, что они могли бы сами по себе заполнить содержание целого курса.

Мы определяем окружность как кривую, все точки которой отстоят на равном расстоянии от данной точки. Мы получаем окружность общеизвестным по­строением при помощи циркуля или на­тянутой нити.

Рис. 2.

Самое построение наглядно показывает, что окружность есть замкнутая, на всем протяжении выпуклая кривая; по­этому через каждую точку окружности можно провести определенную прямую — касательную, имеющую с окружностью только одну общую точку, точку касания, а в остальной части лежащую целиком вне окружности (рис. 1).

Радиус МВ, проведенный в точку касания , должен быть кратчайшим расстоянием от центра М круга до касательной  ибо все точки последней, за исключе­нием точки касания, лежат вне круга и, следовательно, отстоят от центра дальше, чем точка касании.

Отсюда далее следует, что этот радиус перпендикулярен к касательной. Для доказатель­ства построим зеркальное изображение центра относительно прямой , т. е. опустим перпендикуляр из точки М на прямую  и продолжим его на равное расстояние до точки ; тогда  на­зывается зеркальным изображением точки . А так как есть кратчайшее расстояние от  до , то из соображений симметрии  также должно быть кратчайшим расстоянием от  до  

Следовательно,  должно быть кратчайшим расстоянием между  и , и, значит, линия  не может иметь излома в точке , т. е.  действительно является перпендикуляром к

Само собой напрашивается обобщение построения окружности, а именно: при построении окружности с помощью нити мы брали связанную нить, закрепляли ее конец в неподвижной точке, центре круга, и, натягивая нить, вычерчивали кривую.

Если же закрепить связанную нить не в одной, а в двух точках, то мы получим кривую, похожую на окружность, называемую эллипсом.

Точки закрепления нити называются фокусами эллипса.

Рис. 2.

Рис. 3.

Построение с помощью нити показывает, что эллипс можно оп­ределить как кривую, точки которой имеют постоянную сумму расстояний от двух данных точек.

Сближая фокусы, мы полу­чим окружность как предельный случай эллипса.

Задача от главного редактора: как вы думаете, если направить луч из центра окружности, куда он отразится, если окружность представляет собой зеркало?

Вы направляете луч из фокуса зеркального эллипса, куда отразится этот луч?

Представляя кривые зеркалами, попробуйте решить такие же задачи с другими кривыми, описанными в книге.

Всем упомя­нутым свойствам окружности соответствуют простые свойства эллипса.

Эллипс также замкнут, всюду выпуклый и имеет в каждой своей точке касательную, которая, за исключением точки касания, целиком лежит вне эллипса.

Радиусам окружности соответствуют в эллипсе две прямые, соединяющие точку эллипса с фокусами. Они называются радиусами-векторами точки эллипса.

Тому факту, что касательная к окружности перпендикулярна‚ радиусу в точке касания, соответствует в случае эллипса то, что касательная образует равные углы с радиусами-векторами, проведенными в точку касания.

Это утверждение означает, что на рис. 2:

Для доказательства (рис. 3) построим зеркальное изображение точки  относительно касательной и обозначим его. Прямая , которая пересекается с касательной в некоторой точке, есть кратчайшее расстояние между  и .

Следовательно,  есть кратчайший путь от  к , имеющий общую точку, с касательной, ибо для всякой иной точки  касательной  будет больше, чем .

С другой стороны, кратчайший путь между  и , имеющий общую точку с касательной, образуют радиусы-векторы, проведенные в точку касания , ибо всякая другая точка касательной, как расположенная вне эллипса, имеет большую сумму расстояний от фо­кусов, чем точка  эллипса; значит, точки  и  совпадают, а отсюда и вытекает наше утверждение, ибо  и  располо­жены симметрично относительно прямой , а  есть вертикальный для .

Это свойство касательной к эллипсу находит применение в оптике, чем и объясняется название «фокусы».

Именно, если поместить источник света в одном фокусе, толучи, зеркально отраженные от эллипса, со­берутся в другом фокусе.

Рис. 4.

Не так легко, как построение эллипса, хотя принципиально столь же просто, по­строение кривой, у которой разность рас­стояний ее точек от двух неподвижных то­чек постоянна.

Эта кривая называется гиперболой, а неподвижные точки - ее фоку­сами. Для каждой точки  или  кривой (рис. 4) должно удовлетворяться или соот­ношение , или .

Соответственно этому гипербола состоит из двух отдельных ветвей. Вид гиперболы наглядно показывает, что кривая эта всюду выпукла и имеет ка­сательную во всякой точке.

Ниже (с. 17, примечание) будет показано, что и в случае гиперболы касательная к кривой имеет с этой кривой только одну общую точку – именно точку прикос­новения. Так же, как и в случае эллипса, можно показать, что касательная к гиперболе делит пополам угол между радиусами-векторами, проведенными в точку касания (рис. 6, с. 13).

Из эллипса с помощью предельного перехода можно полу­чить новую кривую – параболу (рис. 5). Для этого оставим один фокус, например и ближайшую к нему вершину  эллипса неподвижными (вершинами эллипса называются точки пересечения кривой с прямой, соединяющей ее фокусы).

Будем теперь рассматривать эллипсы, получающиеся при перенесении второго фокуса все далее от точки на продолжение прямой ; эти эллипсы стремятся к некоторой предельной кривой, которая и есть парабола.

Из самого предельного перехода можно вывести простое определение параболы.

Именно, при вычерчивании эл­липса с помощью нити мы можем заметить, что если карандаш находится вблизи точки S (рис. 5), то при достаточно большом расстоянии между  и  отрезок нити, соединяющей карандаш с точкой , почти параллелен линии.

Следовательно, если в некоторой точке  прямой  восстановить перпендикуляр  к , то приближенно будем иметь:

(где — основание перпендикуляра, опущенного из точки  на прямую ). Если теперь ввести новую постоянную, равную

( имеет постоянное значение для каждой кривой), то будем иметь:

Это соотношение будет удовлетворяться с тем большей точностью, чем расстояние  , а для предельной кривой оно будет вполне точно.

Рис. 5.

Таким образом парабола есть кривая, для точек которой сумма расстояний от некоторой определенной точки и некоторой определенной прямой постоянна или (что приводит к тому же) такая кривая, точки которой отстоят на рав­ном расстоянии от некоторой постоянной точки и некоторой постоянной прямой.

Мы получим эту последнюю прямую, если про­ведем прямую, параллельную  и расположенную по другую сторону от точки  на расстоянии, равном : она называется директрисой параболы.

Если вообразить, что парабола представляет собой отражающее зеркало, то она должна отражать все лучи, падающие параллельно , в точку ; это также следует из предельного перехода.

Мы рассмотрели семейство эллипсов, имеющих общую вер­шину и общий ближайший к этой вершине фокус. Теперь рас­смотрим семейство всех эллипсов, имеющих общие фокусы.

Это семейство «софокусных» эллипсов покрывает плоскость одно­кратно и непрерывно, т. е. через каждую точку плоскости проходит одна и только одна кривая семейства; действительно, каждой точке соответствует вполне определенная сумма расстояний от этой точки до фокусов, и следовательно, каждая точка при­надлежит тому эллипсу, которому соответствует эта сумма расстояний ¹.

Рис. 6.

Возьмем еще семейство гипербол, имеющих эти же взятые нами точки в качестве фокусов. Это семейство также покрывает плоскость однократно и непрерывно². Так что через каждую точку плоскости проходят в точности две кривые системы, состоящей из софокус­ных эллипсов и гипербол (рис. 6).

В каждой точке (за исключением фо­кусов) касательные к проходящим через эту точку двум кривым — эллипсу и гиперболе — делят пополам угол между радиусами-векторами взятой точки и смежный с ним угол; следовательно, ка­сательные эти взаимно перпендикулярны.

Таким образом софокусные эллипсы и гиперболы образуют два «взаимно ортогональных семейства кривых» (два семейства называются ортогональными, если каждая кривая одного семейства пересекает каждую кри­вую другого семейства под прямым углом; угол пересечения двух кривых определяется как угол между касательными к этим кривым, проведенными в точке пересечения).

Теперь, чтобы получить наглядное представление о нашей системе кривых (рис. 7), начнем с прямой, перпендикулярной к отрезку , проходящей через его середину, и затем рассмотрим семейство гипербол.

Мы видим, что гиперболы становятся все более сжатыми и, наконец, переходят в полупрямые, служа­щие продолжением отрезка   вправо и влево.

При этом пло­скость целиком заполняется гиперболами.

Теперь мы переходим к самому отрезку , к которому непосредственно примыкают сперва очень сжатые эллипсы, кото­рые затем постепенно становятся все более округлыми и вместе с тем безгранично растут. Таким образом мы вторично заполняем всю плоскость.

Другой, и притом исключительно простой, пример взаимно ортогональных семейств кривых представляют концентрические окружности и прямые, проходящие через их общий центр. Эту систему можно получить из предыдущей путем предельного перехода, заставляя сближаться оба фокуса.

При этом эллипсы переходят в окружности, а гиперболы - в пары прямых. Линии уровня и линии наибольшего подъема на географиче­ских картах суть также ортогональные семейства.

Рис. 7.

Рис. 8.

Наконец, упомянем другое построение с помощью нити, приводящее к ортогональным семействам.

Возьмем конец нити, навернутой на какую-нибудь выпуклую кривую, например на окружность, и станем разматывать нить, все время натягивая ее (рис. 8). Тогда конец нити опишет «эвольвенту» окружности.

Эта кривая описывает один за другим витки вокруг окружности представляя собой, таким образом, спираль. Само построение наглядно показывает, что кривая перпендикулярна к одной из двух касательных к окружности, которые можно провести из какой-либо точки кривой.

Все последующие витки эвольвенты также пересекают эту касательную под прямым углом, причем отрезок касательной между двумя последующими витками эвольвенты имеет постоянную длину и равен как раз длине взятой окружности.

Можно получить бесконечное множество эвольвент той же самой окружности, если при разматывании нити начать с других точек окружности.

Но все эвольвенты могут быть получены так­же из одной эвольвенты путем вращения ее вокруг центра окружности. Семейство эвольвент покрывает всю плоскость за исключением внутренности круга однократно и непрерывно. Оно ортогонально к семейству полупрямых, касательных к окружности, взятых в определенном направлении обхода окружности.

И вообще для любого заданного семейства прямых ортого­нальное семейство состоит из эвольвент.

Образующая их кривая – та, которую (как в нашем примере окружность) огибают прямые заданного семейства.

Мы вернемся еще к этому в дифференциальной геометрии (гл. IV) и кинематике (гл. V).

Цилиндр и конус; конические сечения и поверхности вращения, образуемые ими.

Простейшую кривую поверхность, именно круговой цилиндр, можно получить при помощи простейших кривых-окружности и прямой – следующим образом. Через одну из точек окружности проведем прямую, перпендикулярную к плоскости круга, и будем перемещать ее параллельно самой себе вдоль всей окружности.

Можно также получить круговой цилиндр, заставив одну прямую вращаться вокруг другой прямой, параллельной первой и служащей для первой прямой осью вращения.

Таким образом круговой цилиндр есть поверхность вращения. Поверхности вращения представляют важный тип поверх­ностей; они встречаются в практическом обиходе в виде стаканов, бутылок и т. д.

Все они могут быть охарактеризованы тем, что их можно получить путем вращения некоторой плоской кривой вокруг оси, лежащей в ее плоскости.

Рис. 9.

Плоскость, перпендикулярная к оси, пересекает круговой цилиндр по окружности; плоскость, наклонная к оси, дает в сечении, как в этом можно непосредственно убедиться, эллипсовид­ную кривую.

Покажем, что эта кривая есть действительно эллипс. Для этого возьмем шар такого диаметра, чтобы он в точности соответствовал внутренности цилиндра, и будем передвигать этот шар внутри цилиндра до соприкосновения с секущей плоскостью (рис. 9).

Точно такой же шар возь­мем с другой стороны секущей плоскости в также продвинем его до соприкосновения с плоскостью сечения. Шары соприкасаются с цилиндром по двум окружностям, а с плоскостью сече­ния имеют две точки соприкосновения и .

Соединим теперь произвольную точку кривой пересечения с точками и и рассмотрим образующую цилиндра, проходящую через точку .

Пусть она пересекается с окружностями соприкосновения ша­ров и цилиндра в точках и . Прямые и - каса­тельные к одному и тому же шару, проходящие через точку .

Все такие касательные имеют равную длину, что непосред­ственно следует из всесторонней симметрии шара по отношению к вращению. Таким образом имеем: и точно так же получаем: . Отсюда

.

Но расстояние не зависит от выбора точки на кривой вследствие симметрии фигуры по отношению к вращению. Сле­довательно, для всех точек сечения сумма расстояний от точек и одинакова, т. е. сечение представляет эллипс с фокусами и .

Мы можем сформулировать полученный результат как теорему о проекциях, а именно: тень круга, получающаяся на плоскости, наклонной к плоскости круга, при освещении круга лучами, перпендикулярными к его плоскости, представляет эллипс.

Следующей за круговым цилиндром простейшей поверхности о вращения является круговой конус.

Он получается при вращении прямой вокруг пересекающей ее оси.

Конус образуют все касательные, проведенные из одной и той же неподвижной точки к неподвижному шару, или все лучи, проектирующие круг

из некоторой точки, взятой на его оси (т. е. на прямой, проходящей через центр круга перпендикулярно к его плоскости).

Плоскость, перпендикулярная к оси кругового конуса, пересекает его по окружности; если же несколько наклонить секу­щую плоскость, то сечение превратится в эллипс. Это можно доказать, как и в случае кругового цилиндра, при помощи двух вспомогательных шаров, касающихся плоскости сечения.

Если секущую плоскость все больше наклонять, то эллипсы будут все больше вытягиваться; наконец, когда секущая пло­скость сделается параллельной одной из образующих конуса, кривая, получающаяся в сечении, уже не замыкается в конечной части плоскости. При помощи предельного перехода, аналогичного проведенному выше, можно убедиться, что эта кривая есть парабола.

Если дальше увеличивать наклон секущей плоскости, то она начнет пересекать и другую часть конуса, которую раньше не пересекала; кривая, получающаяся в сечении в этом случае, имеет вид гиперболы (рис. 10).

Чтобы доказать, что эта кривая есть в самом деле гипербола, поместим в обе полости конуса шары, которые соприкасаются как с конусом, таки с плоскости о сечения (в этом случае оба шара будут расположены по одну сторону от секущей плоскости, в то время как в случае эллипса они располагались по разные стороны).

Доказательство прово­дится в полном соответствии с проведенным ранее рассуждением.

Имеем (рис. 10) :

,

.

Рис. 10.

Итак, мы убедились, что всякое сечение конуса плоскостью, не проходящей через его вершину, представляет либо эллипс, либо параболу, либо гиперболу³.

Мы видим, что эти кривые имеют внутреннее сродство, в связи с чем они объединяются под общим названием конических сечений⁴.

К трем упомянутым «собствен­ным» коническим сечениям следует добавить в качестве «несобственных» предельные формы конических сечений, получаемые в том случае, когда секущая плоскость проходит через вершину конуса или когда ко­нус вырождается в цилиндр.

Таким образом в качестве выродившихся конических сечений следует принять: точку, прямую, «считаемую дважды», две пересекающиеся пря­мые, две параллельные прямые и пустую плоскость.

Конические сечения называются также кривыми второго порядка. Это название они получили потому, что в декартовых координатах они выражаются уравнениями второй сте­пени. Это свойство не может быть непосредственно наглядно сформулировано, но из него можно получить вполне наглядное следствие: коническое сечение не может пересекаться с прямой более чем в двух точках. Однако имеется много других кривых, обладающих тем же свойством.

В дополнениях к этой главе приводятся еще два геометрических факта, которые так же, как построение с помощью фокусов, ха­рактеризуют все невыродившиеся конические сечения. Это - построение при помощи подэры и свойства директрис.

После того как мы получили цилиндр и конус при помощи вращения прямой, естественно напрашивается мысль рассмот­реть поверхности, получающиеся при вращении конических сечений.

При этом будем выбирать ось вращения так, чтобы кони­ческое сечение располагалось симметрично по отношению к ней. Тогда части кривой, лежащие по обе стороны оси, переходят одна в другую после полуоборота, так что мы получаем един­ственную поверхность; при другом же расположении оси получилась бы гораздо более сложная фигура.

Так как эллипс имеет две оси симметрии, то он порождает две различные поверхности вращения.

В зависимости от того, будем ли мы вращать эллипс вокруг большей или меньшей оси, мы получим вытянутый (рис.11) или сжатый (рис.12) эллипсоид вращения.

Общеизвестным и часто приводимым примером последней поверхности служит Земля; приближенным приме­ром первой поверхности может служить куриное яйцо.

Рис. 11.

Рис. 12.

Задача от главного редактора: как вы думаете, почему Земля приняла форму сплюснутого эллипса?

Если уменьшать разницу в длине между большой и малой осями эллипса, то получим переходный случай между обоими эллипсоидами вращения.

В этом случае, когда обе оси станут равными, эллипс превратится в круг, и мы получим при вращении шар.

Так как шар симметричен относительно любого из своих диаметров, то его можно получить вращением бесчисленным множеством способов. В этом и состоит отличительное свойство, характеризующее шар: шар⁵ единственная поверхность, которую можно получить вращением более чем одним способом.

Парабола имеет лишь одну ось симметрии и дает единственную поверхность вращения - параболоид вращения (рис. 13).

Наоборот, гипербола порождает две различные поверхности вращения.

В зависимости от того, происходит ли вращение во круг линии, соединяющей фокусы, или вокруг перпендикулярной к ней прямой, проходящей через ее середину, мы получаем дву­полостный (рис. 14) или однополостный (рис. 15) гиперболоид вращения.

Рис. 13. Рис. 14. Рис. 15.

Здесь следует отметить тот поразительный факт, что на поверхности однополостного гиперболоида лежит бесконечное множество прямых; именно эту поверхность можно получить также путем вращения прямой вокруг другой прямой, не лежа щей с ней в одной плоскости (до сих пор мы познакомились лишь с такими поверхностями вращения, у которых ось лежит в одной плоскости с образующей кривой).

Рис. 16.

Рис. 17.

Доказательство этого может быть проведено только аналитическим путем. Однако можно непосредственно убедиться, что подобным построением можно получить эту поверхность двумя способами.

В самом деле, рассмотрим прямую (рис. 16), симметричную с пря­мой образующей нашу поверхность, по отношению к плоскости, проходящей через ось Прямая должна образовать при вращении ту же самую поверхность, что и прямая

В соответствии с этим однополостный гиперболоид вращения cодержит два семейства прямых, причем каждое семейство само по себе целиком покрывает всю поверхность, и прямые обоих семейств так расположены, что каждая прямая одного семейства пересекает каждую прямую другого семейства (или параллельна ей), между тем как две прямые одного и того же семейства расположены всегда в разных плоскостях (рис.17).

Поверхности второго порядка

Поверхности, получающиеся путем вращения конических сечений, являются частными случаями более общего класса по­верхностей, называемых из аналитических соображений поверхностями второго порядка; это – поверхности, точки которых в декартовых пространственных координатах удовлетворяют уравнению второй степени.

Отсюда легко вывести аналитически, что эти поверхности обладают той особенностью, что любая плоскость пересекает их по кривой второго порядка, т. е. по некоторому (собственному или несобственному) коническому сече­нию. Далее, если из некоторой точки провести всевозможные касательные к поверхности второго порядка, то они образуют конус, пересечение которого с любой плоскостью также дает ко­ническое сечение.

Конус этот соприкасается с поверхностью так­же по некоторому коническому сечению.

Поверхности второго порядка – единственные поверхности, все плоские сечения которых являются кривыми второго порядка.

Рассмотрим теперь различные типы поверхностей второго порядка.

Из кругового цилиндра путем обобщения получается эллиптический цилиндр.

Этот цилиндр образует прямая, движущаяся по эллипсу, перпендикулярная к его плоскости. Таким же спо­собом, положив в основание параболу или гиперболу, получим параболический или гиперболический цилиндр (рис. 18 и 19).

Соответствующее обобщение кругового конуса дает общий конус второго порядка. Его мы получим, если соединим все точки какого-нибудь собственного конического сечения с некоторой точкой, расположенной вне плоскости этого ионического сечения.

Следует при этом заметить, что в противоположность случаю с цилиндром мы не получаем различных типов поверхно­стей, когда исходим от эллипса, от параболы или от гиперболы; как мы уже видели, плоскость может образовать в пересечении с одним и тем же конусом все три конических сечения, в пересечении же с одним и тем же цилиндром этого получить нельзя.

Конус и эллиптический цилиндр можно получить из соответствующих поверхностей вращения также путем деформации, которая называется растяжением.

Закрепим неподвижно все точки какой-нибудь плоскости, проходящей через ось вращения,

Рис. 18. Рис.19.

и представим себе, что все остальные точки пространства сдвинуты по направлению к неподвижной плоскости или отодвинуты в противоположном направлении так, что расстояния всех этих точек от неподвижной плоскости изменились в одном и том же отношении.

Можно доказать, что такое преобразование переводит все круги в эллипсы (или в круги).

Далее, оно переводит все прямые в прямые же, все плоскости в плоскости⁶ и все кривые и поверхности второго порядка опять-таки в кривые и поверхности второго порядка.

Рис. 20.

Применяя растяжение к вытянутому или сжатому эллипсоиду вращения, получим эллипсоид самого общего вида.

В то время как всякий эллипсоид вращения симметричен по отношению к любой плоскости, проходящей через ось вращения, эллипсоид самого общего вида имеет всего только три плоскости симметрии, которые расположены перпендикулярно друг к другу.

Отрезки трех линий пересечения этих плоскостей, заключенные внутри эллипсоида, имеют неравную длину; они называются «большой», «средней» и «малой» осями эллипсоида (рис. 20).

Из трехосного эллипсоида можно снова получить вытянутый ил сжатый эллипсоид ращения, если, применив преобразова­ние растяжения, сделать равными друг другу большую и среднюю или среднюю и малую оси.

Форму трехосного эллипсоида часто принимают камни на морском берегу. Вода морского прибоя, шлифуя камни, посте­пенно придает любого вида камню форму, наиболее близкую к эллипсоиду.

Математическое исследование этого явления при­водит к вопросам теории вероятностей.

Наиболее общими поверхностями, получающимися путем рас­тяжения гиперболоидов вращения и параболоида вращения, являются однополостный и двуполостный гиперболоиды и эллиптический параболоид. Оба гиперболоида имеют по три плоскости симметрии, а эллиптический параболоид – две.

Так как всякое растяжение переводит прямые линии в прямые же, то однополостный гиперболоид общего вида обладает тем же свойством, что и соответствующая поверхность враще­ния: на нем расположены два семейства прямых.

Они расположены так же, как и на однополостном гиперболоиде вращения, т. е. всякая прямая одного семейства пересекается со всякой прямой другого семейства, в то время как прямые одного и того же семейства не пересекаются друг с другом, будучи расположены в разных плоскостях.

Рис. 21.

Отсюда получаем следующий способ построения однополостного гиперболоида. Возьмем три произ­вольные прямые одного семейства (рис. 21).

Так как они расположены в разных плоскостях, то через лю­бую точку одной из этих прямых можно провести одну и только одну прямую которая пересечет две другие прямые; это будет линия пересечения двух плоскостей, одна из которых проходит через точку и вторую прямую, а другая – через точку и третью прямую.

Прямая имеет три общие точки с гиперболоидом и, следовательно, должна целиком лежать на гиперболоиде, так как гиперболоид как поверхность второго порядка не может пересекаться с прямой более чем в двух точках.

Если мы заставим точку пробегать всю первую прямую, то соответствующая прямая пробежит все прямые того семей­ства, к которому не принадлежит первая прямая.

Если теперь из этого второго семейства снова взять три произвольные прямые, то таким же способом мы получим прямые первого семейства, в том числе, конечно, и три взятые первоначально прямые.

Само построение показывает, что все прямые одного и того же семей­ства расположены в разных плоскостях: если бы прямые и (рис. 21) пересекались в некоторой точке то взятые первоначально прямые лежали бы в плоскости между тем как они по условию лежат в разных плоскостях.

Таким образом три прямые, расположенные в разных плоскостях, всегда определяют некоторый однополостный гиперболоид, за исключением того случая, когда взятые три прямые па­раллельны одной и той же плоскости (не будучи параллельными между собой).

В этом случае они определяют новую поверхность второго порядка, которая не может быть получена из поверхностей вращения; она называется гиперболическим параболоидом.

Рис. 22.

Эта поверхность по своему виду на­поминает седло (рис. 22). Она имеет две взаимно перпенди­кулярные плоскости симмет­рии, которые пересекают поверхность по параболам.

Так же как и три исходные прямые, в этом случае все прямые каждого из двух семейств параллельны некоторой плоскости.

Из рассмотрения поверхности непосредственно видно, что ника­кая плоскость не может пересечь эту поверхность по эллипсу, так как всякое плоское сечение должно простираться в бесконечность.

Поэтому невозможно получить гиперболический параболоид из поверхности вращения с помощью растяжения: ведь на всякой поверхности вращения расположены окружности, которые при растяжении переходят в эллипсы.

Мы здесь познакомились с новым способом построения поверхностей: берут подвижную прямую, которую заставляют передвигаться по некоторой направляющей, закрепленной в оп­ределенном положении в пространстве. Полученные таким обра­зом поверхности называются линейчатыми поверхностями.

Мы видим, что между девятью поверхностями второго порядка имеются шесть линейчатых, именно: три цилиндра, конус, однополостный гиперболоид и гиперболический параболоид; последние две поверхности занимают исключительное положение: эта единственные линейчатые поверхности, помимо плоскости, обла­дающие тем свойством, что через каждую их точку проходит более одной прямой.

Остальные три поверхности второго порядка – эллипсоид, эллиптический параболоид и двуполостный гиперболоид – не могут содержать прямых целиком уже потому, что не простираются в бесконечность непрерывно в двух противоположных направлениях.

Рис. 23.

Можно доказать поразительную теорему относительно двух семейств прямых.

Расположенных на однополостном гиперболоиде и гиперболическом параболоиде.

Вообразим все прямые одной из этих поверхностей в виде жестких стержней, скреплен­ных в точках пересечения так, что они могут вращаться вокруг этих точек, но не скользить одна по другой. Казалось бы, что при таком скреплении стержни должны представлять жесткую конструкцию.

На самом же деле эта конструкция подвижна (рис. 23). Аналитическое обоснование подвижности этой конструкции дано в дополнении к настоящей главе.

Для того чтобы представить себе изменение формы гипер­болоида, которое при этом происходит, вообразит, что плоскость симметрии гиперболоида, пересекающая его по эллипсу, закреп­лена неподвижно в горизонтальном положении, и постараемся деформировать нашу конструкцию таким образом, чтобы эта плоскость все время оставалась плоскостью симметрии.

Так как однополостный гиперболоид и гиперболический параболоид - единственные поверхности, у которых через каждую точку проходят две прямые, лежащие на поверхности, то наша стержне­вая модель, деформируясь, может либо перейти в гиперболиче­ский параболоид, либо остаться однополостным гиперболоидом; можно показать, что имеет место последний случай.

Мы можем попытаться поднимать прямые нашей конструкции все круче по отношению к плоскости симметрии.

Тогда мы будем получать поверхности, все более сплющенные; эллипсы, расположенные в плоскости симметрии, будут принимать вид софокусных эллип­сов семейства, приведенного в § 1, становясь все более сжатыми. Наконец, в пределе наша конструкция совпадет с вертикальной плоскостью, а стержни превратятся в касательные к некоторой гиперболе, расположенной в этой плоскости.

Эллипс, расположенный в горизонтальной плоскости симметрии, выродится в дважды покрытый прямолинейный отрезок. Точно так же мы

можем деформировать первоначальную модель в обратном направлении, все больше наклоняя стержни, приближая их к го­ризонтальной плоскости.

При этом горловой эллипс поверхности будет все более резко обозначаться; в пределе наша кон­струкция совпадет с горизонтальной плоскостью симметрии, а стержни сделаются огибающими эллипса, лежащего в этой плоскости.

В случае гиперболического параболоида мы имеем аналогич­ное явление: соответствующая конструкция постоянно сохраняет форму параболоида и в обоих предельных случаях совпадает с некоторой плоскости о, причем прямые превращаются в оги­бающие некоторой параболы.

Поверхности второго порядка можно разбить на два вида еще с другой точки зрения. Три поверхности второго порядка - именно, гиперболический и параболический цилиндры и гипербо­лический параболоид - не могут пересекаться с какой бы то ни было плоскостью по окружности, так как любое плоское сечение этих поверхностей простирается в бесконечность.

Наоборот, можно доказать, что на остальных шести поверхностях всегда расположено бесчисленное множество окружностей.

С этим связано то обстоятельство, что эти поверхности в противоположность первым трем могут быть присоединены к группе поверхностей вращения.

Рис. 24.

Для того чтобы убедиться в существовании круговых сечений, рассмотрим трехосный эллипсоид (рис. 24).

Эта поверхность в пересечении со всеми плоскостями, проходящими через среднюю ось образует эллипсы, у которых одна ось постоянна, а именно равна Если мы возьмем плоскость, проходящую через ось и через малую ось и станем вращать ее вокруг оси до совпадения с плоскостью, проходящей через ось и через большую ось то будем получать в пересечении с поверхностью эллипсы, у которых вторая ось сначала будет меньше оси а затем больше

Значит, должно быть какое-то промежуточное положение плоскости, при котором обе оси эллипса равны, и следовательно, кривая, получающаяся в сечении, обращается в окружность. Вследствие симметрии эллипсоида мы получим путем зеркального отражения в плоскости, проходящей через и еще одну плоскость, проходящую через и дающую в пересе­чении с эллипсоидом окружность.

Далее можно доказать, что всякое сечение эллипсоида плоскостью, параллельной плоскости одного из круговых сечений, также дает окружность. Таким образом на всяком эллипсоиде имеются два семейства параллельных окружностей (рис. 25, а, б).

В случае эллипсоида вращения оба семейства окружностей совпадают.

Рис. 25.

Так же как для эллипсоида, можно провести подобное рассуждение и для других поверхностей второго порядка, которые имеют замкнутые плоские сечения.

Для двух семейств круговых сечений имеет место предложение, аналогичное предложению относительно прямых, располо­женных на однополостном гиперболоиде.

Именно, если закрепить все окружности в точках пересечения так, чтобы они могли вращаться без скольжения вокруг этик точек, то полученная конструкция будет не жесткой, а подвижной (рис. 25, а, б; круги сделаны из картона с соответствующими прорезями и вставлены друг в друга; читатель может убедиться, что такая модель лишь незначительно уклоняется от нашего описания).

При изменении формы подвижной модели, составленной из круговых сечений, возникают не те семейства поверхностей, ко­торые получались в случае стержневой модели; конические сечения, расположенные в плоскостях симметрии, при этом вообще не пробегают кривых некоторого софокусного семейства.

Так, подвижная модель круговых сечений трехосного эллипсоида всегда может быть превращена в шар; в этом случае сечение с каждой плоскостью симметрии дает окружность, между тем как в случае семейства софокусных эллипсов эллипс никогда не вырождается в окружность.

Так же как в случае стержневой модели, подвижность модели из круговых сечений допускает изменение формы модели вплоть до того, что поверхность переходит в дважды покрытый эллипс.

Несмотря на большое различие между обоими видами моделей, имеется переходный случай, связывающий ту и другую модель.

Именно, можно рассматривать подвижную стержневую модель гиперболического параболоида как предельный случай модели, составленной из круговых сечений, когда радиусы кругов бесконечно велики, т. е. круги превратились в прямые.

Если имеется семейство однополостных гиперболоидов, которые, изменяясь все больше, приближаются по виду к гиперболическому параболоиду, то окружности, расположенные на гиперболоиде, так же как и прямые, переходят в семейство прямых параболоида.

Построение эллипсоида и софокусных поверхностей второго порядка при помощи нити

Поверхности второго порядка играют в пространстве роль, аналогичную роли конических сечении на плоскости.

Естественно возникает вопрос, нельзя ли перенести на эти поверхности способ построения при помощи нити, употребляемый для вычерчи­вания эллипса. Этот вопрос был разрешен положительно для эллипсоида в 1882 г. Штауде, который указал способ построения эллипсоида при помощи нити.

Рис. 26.

В этом построении в основу кладется жесткая конструкция, состоящая из эллипса и гиперболы, причем плоскость гиперболы перпендикулярна к плоскости эллипса и содержит большую ось последнего (рис. 26); фокусы эллипса являются верши­нами гиперболы, а вершины эллипса фокусами гиперболы; эти данные однозначно оп­ределяют гиперболу.

Закрепим конец нити в одной из вершин эллипса, например в затем обогнем снизу (т е. под плоскостью эллипса) нитью ближайшую к точке ветвь гипер­болы, выведем нить вперед и, обогнув спереди эллипс, выведем нить на верхнюю сторону плоскости эллипса; наконец, закрепим другой конец нити в точке Если теперь натянуть в точке отрезок нити, заключенный между эллипсом и гиперболой, то нить примет форму ломаной причем отрезок ломаной есть кратчай­ший путь, соединяющий с и проходящий через точку ги­перболы, а отрезок обладает таким же свойством в отно­шении точек и и точки эллипса.

Если теперь изменять положение точки оставляя нить натянутой, то точка будет перемещаться по поверхности эллипсоида.

При таком закреплении нити, какое указано на рис. 26, точка опишет всю переднюю нижнюю четверть эллипсоида, остальные три четверти будут получаться в зависимости от того, каким образом нить, закрепленная в точках и огибает между этими точками эллипс и гиперболу⁷.

Конструкция из двух конических сечений при построении эллипсоида играет роль, аналогичную роли фокусов при построе­нии эллипса.

В связи с этим сами кривые называются фокаль­ными кривыми (фокальный эллипс и фокальная гипербола) эллипсоида.

Вообще говорят, что поверхность второго порядка имеет оба эти конические сечения в качестве фокальных кривых, если плоскости последних служат плоскостями симметрии поверхности и образуют в сечении с поверхностью кривые второго порядка, софокусные с фокальными кривыми.

Так как каждое из этих сечений (эллипсоида или гипербо­лоида) должно представлять собой либо эллипс, либо гиперболу, то следует различать четыре случая. Если оба сечения - эллипсы, то мы имеем эллипсоид (рис. 27).

Если же оба сечения - гиперболы, то в этом случае у нас двуполостный гиперболоид (рис. 28). Если плоскость фокальной гиперболы пересекается с поверхностью по гиперболе, а плоскость фокального эллипса - по эллипсу, то наша поверхность представляет собой однополостный гиперболоид (рис. 29).

Четвертый мыслимый случай - эллипс в плоскости гиперболы и гипербола в плоскости эллипса - исключается, ибо в этом случае эллипс и гипербола

должны были бы пересекаться с прямой в четырех различ­ных точках (рис. 30), и плоскость фокальной ги­перболы имела бы с поверхностью помимо эллипса, получаю­щегося в сечении, еще две общие точки и лежащие вне эллипса, что противоречит определению поверхности второго порядка.

Рис. 27.

Рис. 28.

Если при построении эллипсоида при помощи нити закрепить фокальные кривые, но пользоваться нитями различной длины, то можно таким образом получить семейство «софокусных» эллипсоидов (т. е. эллипсоидов с общими фокальными кривыми), совокупность которых заполняет пространство однократно и непрерывно.

Точно так же семейства однополостных и двуполостных гиперболоидов, принадлежащие к этим же фокальным кри­вым, каждое в отдельности, заполняют пространство непрерывно и однократно; таким образом через каждую точку пространства проходят один эллипсоид, один однополостный и один двуполостный гиперболоиды (рис.31).

Точно так же, как софокусные конические сечения на плоскости, софокусные поверхности второго порядка пересекаются в пространстве ортогонально, т. е. в каждой точке пространства касательные плоскости к трем поверхностям, проходящим через эту точку, взаимно перпендикулярны⁸.

Подобные тройные ортогональные системы поверхностей - и прежде всего система софокусных поверхностей второго порядка - играют роль в целом ряде математических и физических исследований; применение «эллиптических координат», к которым привело аналитическое представление этих поверхностей, оказалось целесообразным и при исследовании многих других, в частности астрономических проблем.

Рис. 29.

Рис. 30.

Можно получить представление о строении системы софокусных поверхностей второго порядка, если проследить за различными поверхностями в определенной последовательности.

Будем исходить от весьма больших эллипсоидов семейства, имеющих приблизительно форму шара.

Затем будем постепенно укорачивать большую ось; при этом эллипсоиды будут все более сплющиваться и все меньше напоминать по форме шар, ибо они будут различным образом сжиматься в направлении трех осей. В конце концов как предельный случай мы получим внутренность фокального эллипса, покрытую дважды.

Рис. 31.

Отсюда мы сразу скачком переходим к внешней части эллипса, которую также следует представлять себе дважды покрытой и которая представляет предельный случай сплющенного однополостного гиперболоида.

Если мы будем, исходя от этого предельного случая и делая гиперболоиды все более крутыми, следить за семейством этих гиперболоидов, то мы будем все ближе подходить с обеих сторон к плоскости фокальной гиперболы, а эллипсы в горловине гиперболоидов, оставаясь все время софокусными, будут становиться все более узкими.

В конце концов, когда горловой эллипс станет бесконечно узким, т. е. обратится в двойной прямолинейный отрезок, гиперболоид превратится в дважды по­крытую плоскую полосу между ветвями фокальной гиперболы⁹.

Теперь снова скачком переходим на другую сторону фокальной гипербо­лы, которую опять-таки следует представлять дважды покрытой. Это есть предельный случай для сжимающегося двуполостного гиперболоида.

Если мы будем постепенно выпучивать обе полости гиперболоида, то они будут все более приближаться с обеих сторон к плоскости, проходящей через центр фокальных кривых и расположенной перпендикулярно к плоскостям обеих кривых.

В предельном слу­чае мы получим эту плоскость, опять-таки дважды покрытую.

Этим мы полностью исчерпали веса систему софокусных поверхностей, причем наше рассмотрение показало нам, каким образом каждое семейство заполняет пространство однократно и непрерывно.

Связь между фокальными кривыми, а также связь этих кривых с соответствующими поверхностями второго порядка можно обнаружить с помощью еще одного свойства.

Если мы будем рассматривать фокальный эллипс из какой-нибудь точки фокальной гиперболы в направлении ее касательной, то эллипс представится в виде круга, в центр которого направлен наш взгляд.

Следовательно, фокальная гипербола представляет геометрическое место вершин круговых конусов, которые можно провести через эллипс, причем осью вращения каждого такого конуса служит касательная к фокальной гиперболе в вершине косинуса.

Точно так же все конусы, образуемые касательными к эллипсоидам, софокусным с данными фокальными кривыми, проведенными из точек фокальной гиперболы, расположенных вне эллипсоида, являются круговыми конусами и притом с теми же осями, что и в первом случае.

Вообще можно доказать, что любая поверхность софокусной системы, рассматриваемая из точек фокальной кривой, расположенных вне поверхности, представляется в виде круга, причем если смотреть по направлению касательной к фокальной кривой, то взгляд будет направлен в центр круга. (При этом конус, образуемый касательными, может соприкасаться с поверхностью, вообще говоря, и не по окружности, а по любому коническому сечению, в том числе и по гиперболе¹⁰.)

Естественно возникает мысль рассмотреть наряду с фокальными кривыми также и те кривые, по которым пересекаются две различного вида поверхности софокусной системы.

Такие кривые обладают одним простым дифференциально-геометрическим свойством, которое будет указано ниже (§ 28). Далее, эти кривые дают первый пример кривых, не лежащих в одной плоскости.

Легко видеть, что кривая, по которой пересекаются две произвольные как угодно расположенные поверхности второго порядка, не может пересечься с любой плоскостью более чем в четырех точках, если только кривая не имеет дуги, целиком расположенной на плоскости.

В самом деле, всякая плоскость дает в пересечении с этими поверхностями два конических сечения; и легко аналитическим путем доказать (что, впрочем, и непосредственно очевидно), что два конических сечения пересекаются не более чем в четырех точках, если только они не совпадают или не имеют общей прямой (§ 24).

С этим свойством, относящимся к точкам пересечения, связано то обстоятельство, что рассматриваемые кривые по аналитическим соображениям называются кривыми четвертого по­рядка. (Кривые го порядка обладают аналогичным свойством, а именно, они имеют с любой плоскостью не более общих то­чек, либо имеют с ней общую дугу кривой.) Однако существуют и такие кривые четвертого порядка, которые нельзя получить пересечением двух поверхностей второго порядка¹¹.

Пространственные кривые более высокого порядка трудно представить без вспомогательных аналитических средств, а потому они здесь и не рассматриваются.

Добавления к главе I

Построение конического сечения при помощи подэры

Пусть даны кривая и точка (рис.32); будем опускать из точки перпендикуляры на все касательные к кривой Тогда основания этих перпендикуляров опишут новую кривую которая называется подэрной кривой или подэрной для кривой

Рис. 32.

Рис.33.

относительно точки . Обратно, можно получить снова кривую если даны и Тогда прямые будут огибающими кривой

Этот последний способ построения мы будем называть построением с помощью подэрной кривой и будем говорить, что кривая получается построением при помощи подэры (относительно точки ) из кривой

В зависимости от выбора точки построением при помощи подэрной кривой можно из одной и той же кривой получить весьма разнообразные кривые

Мы утверждаем: построением при помощи подэры из круга или из прямой всегда получается коническое сечение. Если точка расположена внутри круга с центром в точке (рис.33), то получается эллипс, причем есть один из его фокусов; второй фокус есть зеркальное отражение точки относительно центра

Если точка лежит вне круга, то получается гипербола (рис. 34). Фокусами ее опять являются точка и ее зеркальное отражение относительно точки Если вместо круга взять прямую то получается парабола (рис. 35).

Фокусом ее служит точка а директрисой – прямая параллельная и расположенная по другую сторону от прямой на таком же расстоянии от нее, что и точка

Рис. 34.

Рис.35.

Чтобы доказать наше утверждение прежде всего для эллипса, проведем через точку произвольную прямую (рис.33); пусть она пересекает круг в точках и На этой прямой возьмем точки и так, чтобы и

Далее, восстановим к прямой в точках и перпендикуляры и Возьмем точку так, чтобы точка была серединой отрезка Пусть прямая пересекает в точке а прямая пересекает в точке Тогда и, следовательно, Но так как точки и суть середины отрезков и то имеем:

Обозначив радиус круга через получаем соотношение

Следовательно, точка лежит на эллипсе с фокусами в точках и и с большой осью Остается еще показать, что прямая касается эллипса в точке

Это следует из показанного на с.10 свойства углов, образуемых касательной к эллипсу с его радиусами-векторами, проведенными в точку касания.

Именно, у нас по построению Взяв точки и мы проведем совершенно аналогично доказательства для прямой

Доказательство для гиперболы можно усмотреть из рис.34. Построение на этом чертеже отличается от рис.33 только тем, что точка взята вне круга.

В этом случае точки и описывают две различные ветви гиперболы. Здесь мы имеем:

и

Для параболы приходится несколько видоизменить доказательство. Именно, если в этом случае точки и и прямая (рис.35) построены аналогично предыдущим двум построениям, то нужно опустить перпендикуляр из точки на прямую

Пусть есть точка пересечения этого перпендикуляра с прямой Тогда будем иметь: Но здесь точка описывает прямую построенную так, как было указано выше¹².

Следовательно, точка действительно описывает параболу с фокусом в точке и директрисой Что и в этом случае прямая касается параболы в точке следует из того, что прямая делит пополам угол ¹³

Рис. 36.

Если точка находится на самой окружности (рис.36), то прямые и вращаются вокруг точек и и мы получаем в этом случае два пучка прямых. Как известно, случай такого вырождения получается, естественно, если кривые второго порядка рассматривать как огибающую касательных.

Директрисы конических сечений

Мы определили параболу как геометрическое место точек, равностоящих от неподвижной точки фокуса, и от неподвижной прямой директрисы. Аналогичное определение можно дать для эллипса и для гиперболы.

Будем искать геометрическое место точек, для которых отношение их расстояния от некоторой неподвижной точки к расстоянию от определенной неподвижной прямой есть постоянная величина В случае параболы

Докажем теперь, что если то искомая кривая есть эллипс, а если то – гипербола. При этом точка есть фокус конического сечения.

Обратно, для каждого эллипса и каждой гиперболы можно подобрать две прямые и так, что для каждой точки кривой отношение расстояний ее от и и соответственно от и будет постоянным.

Рис. 37.

Для доказательства обратимся к рис.37. Круговой конус пересекается с плоскостью по некоторому эллипсу который и послужит нам для проверки нашего утверждения. Так же как на рис.10, возьмем вспомогательный шар, соприкасающийся с конусом по окружности и касающийся плоскости в точке следовательно, есть фокус эллипса Далее, пусть плоскость круга и линия пересечения плоскостей и

Из произвольной точки эллипса опустим перпендикуляр на прямую и перпендикуляр на плоскость

Затем соединим точку с точкой и с вершиной конуса; пусть прямая пересекается с кругом в точке

Положим для краткости и Тогда будем иметь: и

Далее, ибо оба отрезка представляют собой касательные, проведенные из точки к одному и тому же шару.

Следовательно:

Но углы и не зависят от выбора точки так как угол равен половине угла при вершине конуса, а угол есть угол наклона плоскости к оси конуса.

Значит, если мы положим то убедимся в правильности нашего утверждения для эллипса причем мы попутно получаем пространственный способ построения директрисы

Если плоскость пересекается с конусом не по эллипсу, а по гиперболе (рис.38), доказательство можно провести совершенно аналогично, только в первом случае а во втором – и, следовательно, для эллипса имеем а для гиперболы, наоборот,

Правда, наше построение доказывает существование директрисы только для определенных эллипсов и гипербол, между тем как в нашем утверждении задавались, наоборот, точка прямая и число и требовалось найти соответствующую кривую. Но, очевидно, вид искомой кривой зависит только от значения числа и в то же время мы можем провести построение так, чтобы углы и а следовательно, и принимали любые значения.

Таким образом наше построение исчерпывает всевозможные формы искомой кривой, и значит, кривая, в самом деле, всегда должна представлять коническое сечение.

В случае, когда т.е. мы получаем параболу, так что мы снова приходим к первоначальному определению.

Если же плоскость пересекает конус по кругу, то наше построение ничего не дает, ибо в этом случае (и только в этом) плоскости и не пересекаются, а параллельны.

Всякое собственное коническое сечение, отличное от круга, можно представить как сечение кругового конуса и затем применить к нему наше построение. Поэтому свойство директрис присуще всем собственным коническим сечениям за исключением круга.

В частности, греческие названия конических сечений основываются на их отношении к директрисам. Они обозначают, что у эллипса не достигает числа у гиперболы превосходит и у параболы в точности равно ¹⁴

Рис. 38.

Подвижная стержневая модель гиперболоида

В настоящем параграфе, предполагая известными основы аналитической геометрии в пространстве, мы докажем высказанное в §3 утверждение, что стержневая модель однополостного гиперболоида подвижна.

Вместе с тем мы покажем, что эта конструкция, изменяясь, принимает положения софокусных однополостных гиперболоидов.

Пусть и суть пространственные декартовы координаты точек и соответственно. Рассмотрим софокусные поверхности второго порядка:

Выберем определенное значение так, чтобы уравнение (1) определяло некоторый однополостный гиперболоид.

Точка должна лежать на этой поверхности, как это следует из выражения (1). Пусть точка есть другая точка той же самой поверхности, которая принадлежит той же прямой, расположенной на взятой поверхности, что и точка

Это требование равносильно тому, чтобы удовлетворялись уравнения

В самом деле, середина отрезка должна также лежать на поверхности. Точка имеет координаты

Следовательно, мы должны иметь:

А это равносильно уравнению (3). Обратно: прямая целиком совпадает с поверхностью, когда она имеет с поверхностью три общие точки и т.е. когда удовлетворяются соотношения (1), (2) и (3).

Вычислим теперь расстояние

Имеем:

Последнее выражение в квадратных скобках исчезает в силу уравнений (1), (2) и (3), и мы получаем:

Пусть теперь в выражение (1) вместо подставлено значение которое также определяет некоторый однополостный гиперболоид. Это имеет место тогда и только тогда, когда знаки разностей и одинаковы для всякого

В соответствии с этим формулы

определяют действительное аффинное преобразование.

Очевидно, преобразование (5) переводит поверхность (1) в однополостный гиперболоид, софокусный с (1); обозначим его через (1’). Если точки и суть изображения точек и даваемые преобразованием (5), то прямая лежит целиком на поверхности (1’), ибо она представляет изображение прямой

Наше утверждение будет доказано, если мы покажем, что расстояние осталось равным т.е. Но для мы имеем формулу, аналогичную формуле (4):

Из (5) следует:

так что в силу (4) и (4’) действительно имеем:

Если мы примем за постоянное, а за переменное, то преобразование (5) даст нам кривые, описываемые точками стержневой модели, когда последняя деформируется, сохраняя свои плоскости симметрии.

Эти кривые, как показывает простое вычисление, представляют кривые пересечения эллипсоида, софокусного с гиперболоидом (1), и двуполостного гиперболоида.

Д. Гильберт, С. Кон-Фоссен
Наглядная геометрия: Пер. с нем. - 3-е изд. - М.: Наука, 1981. - 344 с.

В начало

Содержание портала