Уважаемые посетители Портала Знаний, если Вы найдете ошибку в тексте, выделите, пожалуйста, ее мышью и нажмите Сtrl+Enter. Мы обязательно исправим текст!


Случайная цитата


Сегодня это действительно слишком просто: вы можете подойти к компьютеру и практически без знания того, что вы делаете, создавать разумное и бессмыслицу с поистине изумительной быстротой. (Дж. Бокс)

Наглядная геометрия

Подвижная стержневая модель гиперболоида

В настоящем параграфе, предполагая известными основы аналитической геометрии в пространстве, мы докажем высказанное в §3 утверждение, что стержневая модель однополостного гиперболоида подвижна.

Вместе с тем мы покажем, что эта конструкция, изменяясь, принимает положения софокусных однополостных гиперболоидов.

Пусть и суть пространственные декартовы координаты точек и соответственно. Рассмотрим софокусные поверхности второго порядка:

Выберем определенное значение так, чтобы уравнение (1) определяло некоторый однополостный гиперболоид.

Точка должна лежать на этой поверхности, как это следует из выражения (1). Пусть точка есть другая точка той же самой поверхности, которая принадлежит той же прямой, расположенной на взятой поверхности, что и точка

Это требование равносильно тому, чтобы удовлетворялись уравнения

В самом деле, середина отрезка должна также лежать на поверхности. Точка имеет координаты

Следовательно, мы должны иметь:

А это равносильно уравнению (3). Обратно: прямая целиком совпадает с поверхностью, когда она имеет с поверхностью три общие точки и т.е. когда удовлетворяются соотношения (1), (2) и (3).

Вычислим теперь расстояние

Имеем:

Последнее выражение в квадратных скобках исчезает в силу уравнений (1), (2) и (3), и мы получаем:

Пусть теперь в выражение (1) вместо подставлено значение которое также определяет некоторый однополостный гиперболоид. Это имеет место тогда и только тогда, когда знаки разностей и одинаковы для всякого

В соответствии с этим формулы

определяют действительное аффинное преобразование.

Очевидно, преобразование (5) переводит поверхность (1) в однополостный гиперболоид, софокусный с (1); обозначим его через (1’). Если точки и суть изображения точек и даваемые преобразованием (5), то прямая лежит целиком на поверхности (1’), ибо она представляет изображение прямой

Наше утверждение будет доказано, если мы покажем, что расстояние осталось равным т.е. Но для мы имеем формулу, аналогичную формуле (4):

Из (5) следует:

так что в силу (4) и (4’) действительно имеем:

Если мы примем за постоянное, а за переменное, то преобразование (5) даст нам кривые, описываемые точками стержневой модели, когда последняя деформируется, сохраняя свои плоскости симметрии.

Эти кривые, как показывает простое вычисление, представляют кривые пересечения эллипсоида, софокусного с гиперболоидом (1), и двуполостного гиперболоида.


Д. Гильберт, С. Кон-Фоссен
Наглядная геометрия: Пер. с нем. - 3-е изд. - М.: Наука, 1981. - 344 с.


Страницы: Пред. 1 ... 3 4 5 6 7 Все

В начало

Содержание портала