Уважаемые посетители Портала Знаний, если Вы найдете ошибку в тексте, выделите, пожалуйста, ее мышью и нажмите Сtrl+Enter. Мы обязательно исправим текст!


Случайная цитата


Свои способности человек может узнать, только попытавшись приложить их. (Сенека)

Наглядная геометрия

Директрисы конических сечений

Мы определили параболу как геометрическое место точек, равностоящих от неподвижной точки фокуса, и от неподвижной прямой директрисы. Аналогичное определение можно дать для эллипса и для гиперболы.

Будем искать геометрическое место точек, для которых отношение их расстояния от некоторой неподвижной точки к расстоянию от определенной неподвижной прямой есть постоянная величина В случае параболы

Докажем теперь, что если то искомая кривая есть эллипс, а если то – гипербола. При этом точка есть фокус конического сечения.

Обратно, для каждого эллипса и каждой гиперболы можно подобрать две прямые и так, что для каждой точки кривой отношение расстояний ее от и и соответственно от и будет постоянным.

Рис. 37.

Для доказательства обратимся к рис.37. Круговой конус пересекается с плоскостью по некоторому эллипсу который и послужит нам для проверки нашего утверждения. Так же как на рис.10, возьмем вспомогательный шар, соприкасающийся с конусом по окружности и касающийся плоскости в точке следовательно, есть фокус эллипса Далее, пусть плоскость круга и линия пересечения плоскостей и

Из произвольной точки эллипса опустим перпендикуляр на прямую и перпендикуляр на плоскость

Затем соединим точку с точкой и с вершиной конуса; пусть прямая пересекается с кругом в точке

Положим для краткости и Тогда будем иметь: и

Далее, ибо оба отрезка представляют собой касательные, проведенные из точки к одному и тому же шару.

Следовательно:

Но углы и не зависят от выбора точки так как угол равен половине угла при вершине конуса, а угол есть угол наклона плоскости к оси конуса.

Значит, если мы положим то убедимся в правильности нашего утверждения для эллипса причем мы попутно получаем пространственный способ построения директрисы

Если плоскость пересекается с конусом не по эллипсу, а по гиперболе (рис.38), доказательство можно провести совершенно аналогично, только в первом случае а во втором – и, следовательно, для эллипса имеем а для гиперболы, наоборот,

Правда, наше построение доказывает существование директрисы только для определенных эллипсов и гипербол, между тем как в нашем утверждении задавались, наоборот, точка прямая и число и требовалось найти соответствующую кривую. Но, очевидно, вид искомой кривой зависит только от значения числа и в то же время мы можем провести построение так, чтобы углы и а следовательно, и принимали любые значения.

Таким образом наше построение исчерпывает всевозможные формы искомой кривой, и значит, кривая, в самом деле, всегда должна представлять коническое сечение.

В случае, когда т.е. мы получаем параболу, так что мы снова приходим к первоначальному определению.

Если же плоскость пересекает конус по кругу, то наше построение ничего не дает, ибо в этом случае (и только в этом) плоскости и не пересекаются, а параллельны.

Всякое собственное коническое сечение, отличное от круга, можно представить как сечение кругового конуса и затем применить к нему наше построение. Поэтому свойство директрис присуще всем собственным коническим сечениям за исключением круга.

В частности, греческие названия конических сечений основываются на их отношении к директрисам. Они обозначают, что у эллипса не достигает числа у гиперболы превосходит и у параболы в точности равно 14

Рис. 38.

[14] Так считать очень заманчиво, но, к сожалению, это неверно. Названия возникли в связи с задачей о построении прямоугольника данной площади и с заданным основанием См. «Конические сечения».-БСЭ, изд. 3-е, т.13. М.: Советская энциклопедия, 1973, с.26-27.


Страницы: Пред. 1 ... 3 4 5 6 7 След. Все

В начало

Содержание портала