Уважаемые посетители Портала Знаний, если Вы найдете ошибку в тексте, выделите, пожалуйста, ее мышью и нажмите Сtrl+Enter. Мы обязательно исправим текст!


Случайная цитата


Если действовать не будешь, ни к чему ума палата. (Шота Руставели)

Наглядная геометрия

Директрисы конических сечений

Мы определили параболу как геометрическое место точек, равностоящих от неподвижной точки фокуса, и от неподвижной прямой директрисы. Аналогичное определение можно дать для эллипса и для гиперболы.

Будем искать геометрическое место точек, для которых отношение их расстояния от некоторой неподвижной точки к расстоянию от определенной неподвижной прямой есть постоянная величина В случае параболы

Докажем теперь, что если то искомая кривая есть эллипс, а если то – гипербола. При этом точка есть фокус конического сечения.

Обратно, для каждого эллипса и каждой гиперболы можно подобрать две прямые и так, что для каждой точки кривой отношение расстояний ее от и и соответственно от и будет постоянным.

Рис. 37.

Для доказательства обратимся к рис.37. Круговой конус пересекается с плоскостью по некоторому эллипсу который и послужит нам для проверки нашего утверждения. Так же как на рис.10, возьмем вспомогательный шар, соприкасающийся с конусом по окружности и касающийся плоскости в точке следовательно, есть фокус эллипса Далее, пусть плоскость круга и линия пересечения плоскостей и

Из произвольной точки эллипса опустим перпендикуляр на прямую и перпендикуляр на плоскость

Затем соединим точку с точкой и с вершиной конуса; пусть прямая пересекается с кругом в точке

Положим для краткости и Тогда будем иметь: и

Далее, ибо оба отрезка представляют собой касательные, проведенные из точки к одному и тому же шару.

Следовательно:

Но углы и не зависят от выбора точки так как угол равен половине угла при вершине конуса, а угол есть угол наклона плоскости к оси конуса.

Значит, если мы положим то убедимся в правильности нашего утверждения для эллипса причем мы попутно получаем пространственный способ построения директрисы

Если плоскость пересекается с конусом не по эллипсу, а по гиперболе (рис.38), доказательство можно провести совершенно аналогично, только в первом случае а во втором – и, следовательно, для эллипса имеем а для гиперболы, наоборот,

Правда, наше построение доказывает существование директрисы только для определенных эллипсов и гипербол, между тем как в нашем утверждении задавались, наоборот, точка прямая и число и требовалось найти соответствующую кривую. Но, очевидно, вид искомой кривой зависит только от значения числа и в то же время мы можем провести построение так, чтобы углы и а следовательно, и принимали любые значения.

Таким образом наше построение исчерпывает всевозможные формы искомой кривой, и значит, кривая, в самом деле, всегда должна представлять коническое сечение.

В случае, когда т.е. мы получаем параболу, так что мы снова приходим к первоначальному определению.

Если же плоскость пересекает конус по кругу, то наше построение ничего не дает, ибо в этом случае (и только в этом) плоскости и не пересекаются, а параллельны.

Всякое собственное коническое сечение, отличное от круга, можно представить как сечение кругового конуса и затем применить к нему наше построение. Поэтому свойство директрис присуще всем собственным коническим сечениям за исключением круга.

В частности, греческие названия конических сечений основываются на их отношении к директрисам. Они обозначают, что у эллипса не достигает числа у гиперболы превосходит и у параболы в точности равно 14

Рис. 38.

[14] Так считать очень заманчиво, но, к сожалению, это неверно. Названия возникли в связи с задачей о построении прямоугольника данной площади и с заданным основанием См. «Конические сечения».-БСЭ, изд. 3-е, т.13. М.: Советская энциклопедия, 1973, с.26-27.


Страницы: Пред. 1 ... 3 4 5 6 7 След. Все

В начало

Содержание портала