Уважаемые посетители Портала Знаний, если Вы найдете ошибку в тексте, выделите, пожалуйста, ее мышью и нажмите Сtrl+Enter. Мы обязательно исправим текст!


Случайная цитата


Ум заключается не только в знании, но и в умении прилагать знание на деле. (Аристотель)

Наглядная геометрия

Добавления к главе I

Построение конического сечения при помощи подэры

Пусть даны кривая и точка (рис.32); будем опускать из точки перпендикуляры на все касательные к кривой Тогда основания этих перпендикуляров опишут новую кривую которая называется подэрной кривой или подэрной для кривой

Рис. 32.

Рис.33.

относительно точки . Обратно, можно получить снова кривую если даны и Тогда прямые будут огибающими кривой

Этот последний способ построения мы будем называть построением с помощью подэрной кривой и будем говорить, что кривая получается построением при помощи подэры (относительно точки ) из кривой

В зависимости от выбора точки построением при помощи подэрной кривой можно из одной и той же кривой получить весьма разнообразные кривые

Мы утверждаем: построением при помощи подэры из круга или из прямой всегда получается коническое сечение. Если точка расположена внутри круга с центром в точке (рис.33), то получается эллипс, причем есть один из его фокусов; второй фокус есть зеркальное отражение точки относительно центра

Если точка лежит вне круга, то получается гипербола (рис. 34). Фокусами ее опять являются точка и ее зеркальное отражение относительно точки Если вместо круга взять прямую то получается парабола (рис. 35).

Фокусом ее служит точка а директрисой – прямая параллельная и расположенная по другую сторону от прямой на таком же расстоянии от нее, что и точка

Рис. 34.

Рис.35.

Чтобы доказать наше утверждение прежде всего для эллипса, проведем через точку произвольную прямую (рис.33); пусть она пересекает круг в точках и На этой прямой возьмем точки и так, чтобы и

Далее, восстановим к прямой в точках и перпендикуляры и Возьмем точку так, чтобы точка была серединой отрезка Пусть прямая пересекает в точке а прямая пересекает в точке Тогда и, следовательно, Но так как точки и суть середины отрезков и то имеем:

Обозначив радиус круга через получаем соотношение

Следовательно, точка лежит на эллипсе с фокусами в точках и и с большой осью Остается еще показать, что прямая касается эллипса в точке

Это следует из показанного на с.10 свойства углов, образуемых касательной к эллипсу с его радиусами-векторами, проведенными в точку касания.

Именно, у нас по построению Взяв точки и мы проведем совершенно аналогично доказательства для прямой

Доказательство для гиперболы можно усмотреть из рис.34. Построение на этом чертеже отличается от рис.33 только тем, что точка взята вне круга.

В этом случае точки и описывают две различные ветви гиперболы. Здесь мы имеем:

и

Для параболы приходится несколько видоизменить доказательство. Именно, если в этом случае точки и и прямая (рис.35) построены аналогично предыдущим двум построениям, то нужно опустить перпендикуляр из точки на прямую

Пусть есть точка пересечения этого перпендикуляра с прямой Тогда будем иметь: Но здесь точка описывает прямую построенную так, как было указано выше12.

Следовательно, точка действительно описывает параболу с фокусом в точке и директрисой Что и в этом случае прямая касается параболы в точке следует из того, что прямая делит пополам угол 13

Рис. 36.

Если точка находится на самой окружности (рис.36), то прямые и вращаются вокруг точек и и мы получаем в этом случае два пучка прямых. Как известно, случай такого вырождения получается, естественно, если кривые второго порядка рассматривать как огибающую касательных.

[12] В случаях построения эллипса и гиперболы точка F описывает окружность с центром в точке F2, вдвое большую, чем взятая первоначально окружность; их центр подобия лежит в точке F1. Это следует из условий; точка F2 лежит на продолжении отрезка F1M и F1M=F2M.

[13] Можно, конечно, получить рис.35 из рис.33 таким же предельным переходом, при помощи которого мы получали параболу из эллипса на с.11


Страницы: Пред. 1 ... 3 4 5 6 7 След. Все

В начало

Содержание портала