Уважаемые посетители Портала Знаний, если Вы найдете ошибку в тексте, выделите, пожалуйста, ее мышью и нажмите Сtrl+Enter. Мы обязательно исправим текст!


Случайная цитата


Чтобы правильно задать вопрос, нужно знать большую часть ответа. (Шекли)

Наглядная геометрия

Построение эллипсоида и софокусных поверхностей второго порядка при помощи нити

Поверхности второго порядка играют в пространстве роль, аналогичную роли конических сечении на плоскости.

Естественно возникает вопрос, нельзя ли перенести на эти поверхности способ построения при помощи нити, употребляемый для вычерчи­вания эллипса. Этот вопрос был разрешен положительно для эллипсоида в 1882 г. Штауде, который указал способ построения эллипсоида при помощи нити.

Рис. 26.

В этом построении в основу кладется жесткая конструкция, состоящая из эллипса и гиперболы, причем плоскость гиперболы перпендикулярна к плоскости эллипса и содержит большую ось последнего (рис. 26); фокусы эллипса являются верши­нами гиперболы, а вершины эллипса фокусами гиперболы; эти данные однозначно оп­ределяют гиперболу.

Закрепим конец нити в одной из вершин эллипса, например в затем обогнем снизу (т е. под плоскостью эллипса) нитью ближайшую к точке ветвь гипер­болы, выведем нить вперед и, обогнув спереди эллипс, выведем нить на верхнюю сторону плоскости эллипса; наконец, закрепим другой конец нити в точке Если теперь натянуть в точке отрезок нити, заключенный между эллипсом и гиперболой, то нить примет форму ломаной причем отрезок ломаной есть кратчай­ший путь, соединяющий с и проходящий через точку ги­перболы, а отрезок обладает таким же свойством в отно­шении точек и и точки эллипса.

Если теперь изменять положение точки оставляя нить натянутой, то точка будет перемещаться по поверхности эллипсоида.

При таком закреплении нити, какое указано на рис. 26, точка опишет всю переднюю нижнюю четверть эллипсоида, остальные три четверти будут получаться в зависимости от того, каким образом нить, закрепленная в точках и огибает между этими точками эллипс и гиперболу7.

Конструкция из двух конических сечений при построении эллипсоида играет роль, аналогичную роли фокусов при построе­нии эллипса.

В связи с этим сами кривые называются фокаль­ными кривыми (фокальный эллипс и фокальная гипербола) эллипсоида.

Вообще говорят, что поверхность второго порядка имеет оба эти конические сечения в качестве фокальных кривых, если плоскости последних служат плоскостями симметрии поверхности и образуют в сечении с поверхностью кривые второго порядка, софокусные с фокальными кривыми.

Так как каждое из этих сечений (эллипсоида или гипербо­лоида) должно представлять собой либо эллипс, либо гиперболу, то следует различать четыре случая. Если оба сечения - эллипсы, то мы имеем эллипсоид (рис. 27).

Если же оба сечения - гиперболы, то в этом случае у нас двуполостный гиперболоид (рис. 28). Если плоскость фокальной гиперболы пересекается с поверхностью по гиперболе, а плоскость фокального эллипса - по эллипсу, то наша поверхность представляет собой однополостный гиперболоид (рис. 29).

Четвертый мыслимый случай - эллипс в плоскости гиперболы и гипербола в плоскости эллипса - исключается, ибо в этом случае эллипс и гипербола

должны были бы пересекаться с прямой в четырех различ­ных точках (рис. 30), и плоскость фокальной ги­перболы имела бы с поверхностью помимо эллипса, получаю­щегося в сечении, еще две общие точки и лежащие вне эллипса, что противоречит определению поверхности второго порядка.

Рис. 27.

Рис. 28.

Если при построении эллипсоида при помощи нити закрепить фокальные кривые, но пользоваться нитями различной длины, то можно таким образом получить семейство «софокусных» эллипсоидов (т. е. эллипсоидов с общими фокальными кривыми), совокупность которых заполняет пространство однократно и непрерывно.

Точно так же семейства однополостных и двуполостных гиперболоидов, принадлежащие к этим же фокальным кри­вым, каждое в отдельности, заполняют пространство непрерывно и однократно; таким образом через каждую точку пространства проходят один эллипсоид, один однополостный и один двуполостный гиперболоиды (рис.31).

Точно так же, как софокусные конические сечения на плоскости, софокусные поверхности второго порядка пересекаются в пространстве ортогонально, т. е. в каждой точке пространства касательные плоскости к трем поверхностям, проходящим через эту точку, взаимно перпендикулярны8.

Подобные тройные ортогональные системы поверхностей - и прежде всего система софокусных поверхностей второго порядка - играют роль в целом ряде математических и физических исследований; применение «эллиптических координат», к которым привело аналитическое представление этих поверхностей, оказалось целесообразным и при исследовании многих других, в частности астрономических проблем.

Рис. 29.

Рис. 30.

Можно получить представление о строении системы софокусных поверхностей второго порядка, если проследить за различными поверхностями в определенной последовательности.

Будем исходить от весьма больших эллипсоидов семейства, имеющих приблизительно форму шара.

Затем будем постепенно укорачивать большую ось; при этом эллипсоиды будут все более сплющиваться и все меньше напоминать по форме шар, ибо они будут различным образом сжиматься в направлении трех осей. В конце концов как предельный случай мы получим внутренность фокального эллипса, покрытую дважды.

Рис. 31.

Отсюда мы сразу скачком переходим к внешней части эллипса, которую также следует представлять себе дважды покрытой и которая представляет предельный случай сплющенного однополостного гиперболоида.

Если мы будем, исходя от этого предельного случая и делая гиперболоиды все более крутыми, следить за семейством этих гиперболоидов, то мы будем все ближе подходить с обеих сторон к плоскости фокальной гиперболы, а эллипсы в горловине гиперболоидов, оставаясь все время софокусными, будут становиться все более узкими.

В конце концов, когда горловой эллипс станет бесконечно узким, т. е. обратится в двойной прямолинейный отрезок, гиперболоид превратится в дважды по­крытую плоскую полосу между ветвями фокальной гиперболы9.

Теперь снова скачком переходим на другую сторону фокальной гипербо­лы, которую опять-таки следует представлять дважды покрытой. Это есть предельный случай для сжимающегося двуполостного гиперболоида.

Если мы будем постепенно выпучивать обе полости гиперболоида, то они будут все более приближаться с обеих сторон к плоскости, проходящей через центр фокальных кривых и расположенной перпендикулярно к плоскостям обеих кривых.

В предельном слу­чае мы получим эту плоскость, опять-таки дважды покрытую.

Этим мы полностью исчерпали веса систему софокусных поверхностей, причем наше рассмотрение показало нам, каким образом каждое семейство заполняет пространство однократно и непрерывно.

Связь между фокальными кривыми, а также связь этих кривых с соответствующими поверхностями второго порядка можно обнаружить с помощью еще одного свойства.

Если мы будем рассматривать фокальный эллипс из какой-нибудь точки фокальной гиперболы в направлении ее касательной, то эллипс представится в виде круга, в центр которого направлен наш взгляд.

Следовательно, фокальная гипербола представляет геометрическое место вершин круговых конусов, которые можно провести через эллипс, причем осью вращения каждого такого конуса служит касательная к фокальной гиперболе в вершине косинуса.

Точно так же все конусы, образуемые касательными к эллипсоидам, софокусным с данными фокальными кривыми, проведенными из точек фокальной гиперболы, расположенных вне эллипсоида, являются круговыми конусами и притом с теми же осями, что и в первом случае.

Вообще можно доказать, что любая поверхность софокусной системы, рассматриваемая из точек фокальной кривой, расположенных вне поверхности, представляется в виде круга, причем если смотреть по направлению касательной к фокальной кривой, то взгляд будет направлен в центр круга. (При этом конус, образуемый касательными, может соприкасаться с поверхностью, вообще говоря, и не по окружности, а по любому коническому сечению, в том числе и по гиперболе10.)

Естественно возникает мысль рассмотреть наряду с фокальными кривыми также и те кривые, по которым пересекаются две различного вида поверхности софокусной системы.

Такие кривые обладают одним простым дифференциально-геометрическим свойством, которое будет указано ниже (§ 28). Далее, эти кривые дают первый пример кривых, не лежащих в одной плоскости.

Легко видеть, что кривая, по которой пересекаются две произвольные как угодно расположенные поверхности второго порядка, не может пересечься с любой плоскостью более чем в четырех точках, если только кривая не имеет дуги, целиком расположенной на плоскости.

В самом деле, всякая плоскость дает в пересечении с этими поверхностями два конических сечения; и легко аналитическим путем доказать (что, впрочем, и непосредственно очевидно), что два конических сечения пересекаются не более чем в четырех точках, если только они не совпадают или не имеют общей прямой (§ 24).

С этим свойством, относящимся к точкам пересечения, связано то обстоятельство, что рассматриваемые кривые по аналитическим соображениям называются кривыми четвертого по­рядка. (Кривые го порядка обладают аналогичным свойством, а именно, они имеют с любой плоскостью не более общих то­чек, либо имеют с ней общую дугу кривой.) Однако существуют и такие кривые четвертого порядка, которые нельзя получить пересечением двух поверхностей второго порядка11.

Пространственные кривые более высокого порядка трудно представить без вспомогательных аналитических средств, а потому они здесь и не рассматриваются.

[7] Вместо точек и концы нити можно было бы закрепить и в любых других точках эллипса или гиперболы за исключением только тех случаев, когда невозможно натянуть отрезок нити описанным образом между точками закрепления.

[8] Точки фокальных кривых составляют при этом исключение: в этих точках две из трех плоскостей становятся неопределенными.

[9] Приведенная выше подвижная стержневая модель пробегает как раз эту систему гиперболоидов, включая и предельные положения.

[10] Софокусные системы обладают еще одним свойством, которое, впрочем, можно рассматривать как предельный случай только что упомянутых свойств. Свойство это заключается в следующем: если из какой-нибудь точки пространства провести конус касательных к некоторой поверхности системы, не заключающей внутри себя взятой точки , то касательные плоскости в точке к трем проходящим через эту точку поверхностям системы всегда представляют плоскости симметрии конуса касательных.

[11] Можно аналитически доказать для кривых пересечения двух поверхностей второго порядка, что через них проходит бесчисленное множество других поверхностей второго порядка и между ними четыре конуса (причем некоторые из них могут совпадать или вырождаться в цилиндры).


Страницы: Пред. 1 2 3 4 5 6 7 След. Все

В начало

Содержание портала