Уважаемые посетители Портала Знаний, если Вы найдете ошибку в тексте, выделите, пожалуйста, ее мышью и нажмите Сtrl+Enter. Мы обязательно исправим текст!


Случайная цитата


Чтобы правильно задать вопрос, нужно знать большую часть ответа. (Шекли)

Наглядная геометрия

Поверхности второго порядка

Поверхности, получающиеся путем вращения конических сечений, являются частными случаями более общего класса по­верхностей, называемых из аналитических соображений поверхностями второго порядка; это – поверхности, точки которых в декартовых пространственных координатах удовлетворяют уравнению второй степени.

Отсюда легко вывести аналитически, что эти поверхности обладают той особенностью, что любая плоскость пересекает их по кривой второго порядка, т. е. по некоторому (собственному или несобственному) коническому сече­нию. Далее, если из некоторой точки провести всевозможные касательные к поверхности второго порядка, то они образуют конус, пересечение которого с любой плоскостью также дает ко­ническое сечение.

Конус этот соприкасается с поверхностью так­же по некоторому коническому сечению.

Поверхности второго порядка – единственные поверхности, все плоские сечения которых являются кривыми второго порядка.

Рассмотрим теперь различные типы поверхностей второго порядка.

Из кругового цилиндра путем обобщения получается эллиптический цилиндр.

Этот цилиндр образует прямая, движущаяся по эллипсу, перпендикулярная к его плоскости. Таким же спо­собом, положив в основание параболу или гиперболу, получим параболический или гиперболический цилиндр (рис. 18 и 19).

Соответствующее обобщение кругового конуса дает общий конус второго порядка. Его мы получим, если соединим все точки какого-нибудь собственного конического сечения с некоторой точкой, расположенной вне плоскости этого ионического сечения.

Следует при этом заметить, что в противоположность случаю с цилиндром мы не получаем различных типов поверхно­стей, когда исходим от эллипса, от параболы или от гиперболы; как мы уже видели, плоскость может образовать в пересечении с одним и тем же конусом все три конических сечения, в пересечении же с одним и тем же цилиндром этого получить нельзя.

Конус и эллиптический цилиндр можно получить из соответствующих поверхностей вращения также путем деформации, которая называется растяжением.

Закрепим неподвижно все точки какой-нибудь плоскости, проходящей через ось вращения,

Рис. 18. Рис.19.

и представим себе, что все остальные точки пространства сдвинуты по направлению к неподвижной плоскости или отодвинуты в противоположном направлении так, что расстояния всех этих точек от неподвижной плоскости изменились в одном и том же отношении.

Можно доказать, что такое преобразование переводит все круги в эллипсы (или в круги).

Далее, оно переводит все прямые в прямые же, все плоскости в плоскости6 и все кривые и поверхности второго порядка опять-таки в кривые и поверхности второго порядка.

Рис. 20.

Применяя растяжение к вытянутому или сжатому эллипсоиду вращения, получим эллипсоид самого общего вида.

В то время как всякий эллипсоид вращения симметричен по отношению к любой плоскости, проходящей через ось вращения, эллипсоид самого общего вида имеет всего только три плоскости симметрии, которые расположены перпендикулярно друг к другу.

Отрезки трех линий пересечения этих плоскостей, заключенные внутри эллипсоида, имеют неравную длину; они называются «большой», «средней» и «малой» осями эллипсоида (рис. 20).

Из трехосного эллипсоида можно снова получить вытянутый ил сжатый эллипсоид ращения, если, применив преобразова­ние растяжения, сделать равными друг другу большую и среднюю или среднюю и малую оси.

Форму трехосного эллипсоида часто принимают камни на морском берегу. Вода морского прибоя, шлифуя камни, посте­пенно придает любого вида камню форму, наиболее близкую к эллипсоиду.

Математическое исследование этого явления при­водит к вопросам теории вероятностей.

Наиболее общими поверхностями, получающимися путем рас­тяжения гиперболоидов вращения и параболоида вращения, являются однополостный и двуполостный гиперболоиды и эллиптический параболоид. Оба гиперболоида имеют по три плоскости симметрии, а эллиптический параболоид – две.

Так как всякое растяжение переводит прямые линии в прямые же, то однополостный гиперболоид общего вида обладает тем же свойством, что и соответствующая поверхность враще­ния: на нем расположены два семейства прямых.

Они расположены так же, как и на однополостном гиперболоиде вращения, т. е. всякая прямая одного семейства пересекается со всякой прямой другого семейства, в то время как прямые одного и того же семейства не пересекаются друг с другом, будучи расположены в разных плоскостях.

Рис. 21.

Отсюда получаем следующий способ построения однополостного гиперболоида. Возьмем три произ­вольные прямые одного семейства (рис. 21).

Так как они расположены в разных плоскостях, то через лю­бую точку одной из этих прямых можно провести одну и только одну прямую которая пересечет две другие прямые; это будет линия пересечения двух плоскостей, одна из которых проходит через точку и вторую прямую, а другая – через точку и третью прямую.

Прямая имеет три общие точки с гиперболоидом и, следовательно, должна целиком лежать на гиперболоиде, так как гиперболоид как поверхность второго порядка не может пересекаться с прямой более чем в двух точках.

Если мы заставим точку пробегать всю первую прямую, то соответствующая прямая пробежит все прямые того семей­ства, к которому не принадлежит первая прямая.

Если теперь из этого второго семейства снова взять три произвольные прямые, то таким же способом мы получим прямые первого семейства, в том числе, конечно, и три взятые первоначально прямые.

Само построение показывает, что все прямые одного и того же семей­ства расположены в разных плоскостях: если бы прямые и (рис. 21) пересекались в некоторой точке то взятые первоначально прямые лежали бы в плоскости между тем как они по условию лежат в разных плоскостях.

Таким образом три прямые, расположенные в разных плоскостях, всегда определяют некоторый однополостный гиперболоид, за исключением того случая, когда взятые три прямые па­раллельны одной и той же плоскости (не будучи параллельными между собой).

В этом случае они определяют новую поверхность второго порядка, которая не может быть получена из поверхностей вращения; она называется гиперболическим параболоидом.

Рис. 22.

Эта поверхность по своему виду на­поминает седло (рис. 22). Она имеет две взаимно перпенди­кулярные плоскости симмет­рии, которые пересекают поверхность по параболам.

Так же как и три исходные прямые, в этом случае все прямые каждого из двух семейств параллельны некоторой плоскости.

Из рассмотрения поверхности непосредственно видно, что ника­кая плоскость не может пересечь эту поверхность по эллипсу, так как всякое плоское сечение должно простираться в бесконечность.

Поэтому невозможно получить гиперболический параболоид из поверхности вращения с помощью растяжения: ведь на всякой поверхности вращения расположены окружности, которые при растяжении переходят в эллипсы.

Мы здесь познакомились с новым способом построения поверхностей: берут подвижную прямую, которую заставляют передвигаться по некоторой направляющей, закрепленной в оп­ределенном положении в пространстве. Полученные таким обра­зом поверхности называются линейчатыми поверхностями.

Мы видим, что между девятью поверхностями второго порядка имеются шесть линейчатых, именно: три цилиндра, конус, однополостный гиперболоид и гиперболический параболоид; последние две поверхности занимают исключительное положение: эта единственные линейчатые поверхности, помимо плоскости, обла­дающие тем свойством, что через каждую их точку проходит более одной прямой.

Остальные три поверхности второго порядка – эллипсоид, эллиптический параболоид и двуполостный гиперболоид – не могут содержать прямых целиком уже потому, что не простираются в бесконечность непрерывно в двух противоположных направлениях.

Рис. 23.

Можно доказать поразительную теорему относительно двух семейств прямых.

Расположенных на однополостном гиперболоиде и гиперболическом параболоиде.

Вообразим все прямые одной из этих поверхностей в виде жестких стержней, скреплен­ных в точках пересечения так, что они могут вращаться вокруг этих точек, но не скользить одна по другой. Казалось бы, что при таком скреплении стержни должны представлять жесткую конструкцию.

На самом же деле эта конструкция подвижна (рис. 23). Аналитическое обоснование подвижности этой конструкции дано в дополнении к настоящей главе.

Для того чтобы представить себе изменение формы гипер­болоида, которое при этом происходит, вообразит, что плоскость симметрии гиперболоида, пересекающая его по эллипсу, закреп­лена неподвижно в горизонтальном положении, и постараемся деформировать нашу конструкцию таким образом, чтобы эта плоскость все время оставалась плоскостью симметрии.

Так как однополостный гиперболоид и гиперболический параболоид - единственные поверхности, у которых через каждую точку проходят две прямые, лежащие на поверхности, то наша стержне­вая модель, деформируясь, может либо перейти в гиперболиче­ский параболоид, либо остаться однополостным гиперболоидом; можно показать, что имеет место последний случай.

Мы можем попытаться поднимать прямые нашей конструкции все круче по отношению к плоскости симметрии.

Тогда мы будем получать поверхности, все более сплющенные; эллипсы, расположенные в плоскости симметрии, будут принимать вид софокусных эллип­сов семейства, приведенного в § 1, становясь все более сжатыми. Наконец, в пределе наша конструкция совпадет с вертикальной плоскостью, а стержни превратятся в касательные к некоторой гиперболе, расположенной в этой плоскости.

Эллипс, расположенный в горизонтальной плоскости симметрии, выродится в дважды покрытый прямолинейный отрезок. Точно так же мы

можем деформировать первоначальную модель в обратном направлении, все больше наклоняя стержни, приближая их к го­ризонтальной плоскости.

При этом горловой эллипс поверхности будет все более резко обозначаться; в пределе наша кон­струкция совпадет с горизонтальной плоскостью симметрии, а стержни сделаются огибающими эллипса, лежащего в этой плоскости.

В случае гиперболического параболоида мы имеем аналогич­ное явление: соответствующая конструкция постоянно сохраняет форму параболоида и в обоих предельных случаях совпадает с некоторой плоскости о, причем прямые превращаются в оги­бающие некоторой параболы.

Поверхности второго порядка можно разбить на два вида еще с другой точки зрения. Три поверхности второго порядка - именно, гиперболический и параболический цилиндры и гипербо­лический параболоид - не могут пересекаться с какой бы то ни было плоскостью по окружности, так как любое плоское сечение этих поверхностей простирается в бесконечность.

Наоборот, можно доказать, что на остальных шести поверхностях всегда расположено бесчисленное множество окружностей.

С этим связано то обстоятельство, что эти поверхности в противоположность первым трем могут быть присоединены к группе поверхностей вращения.

Рис. 24.

Для того чтобы убедиться в существовании круговых сечений, рассмотрим трехосный эллипсоид (рис. 24).

Эта поверхность в пересечении со всеми плоскостями, проходящими через среднюю ось образует эллипсы, у которых одна ось постоянна, а именно равна Если мы возьмем плоскость, проходящую через ось и через малую ось и станем вращать ее вокруг оси до совпадения с плоскостью, проходящей через ось и через большую ось то будем получать в пересечении с поверхностью эллипсы, у которых вторая ось сначала будет меньше оси а затем больше

Значит, должно быть какое-то промежуточное положение плоскости, при котором обе оси эллипса равны, и следовательно, кривая, получающаяся в сечении, обращается в окружность. Вследствие симметрии эллипсоида мы получим путем зеркального отражения в плоскости, проходящей через и еще одну плоскость, проходящую через и дающую в пересе­чении с эллипсоидом окружность.

Далее можно доказать, что всякое сечение эллипсоида плоскостью, параллельной плоскости одного из круговых сечений, также дает окружность. Таким образом на всяком эллипсоиде имеются два семейства параллельных окружностей (рис. 25, а, б).

В случае эллипсоида вращения оба семейства окружностей совпадают.

Рис. 25.

Так же как для эллипсоида, можно провести подобное рассуждение и для других поверхностей второго порядка, которые имеют замкнутые плоские сечения.

Для двух семейств круговых сечений имеет место предложение, аналогичное предложению относительно прямых, располо­женных на однополостном гиперболоиде.

Именно, если закрепить все окружности в точках пересечения так, чтобы они могли вращаться без скольжения вокруг этик точек, то полученная конструкция будет не жесткой, а подвижной (рис. 25, а, б; круги сделаны из картона с соответствующими прорезями и вставлены друг в друга; читатель может убедиться, что такая модель лишь незначительно уклоняется от нашего описания).

При изменении формы подвижной модели, составленной из круговых сечений, возникают не те семейства поверхностей, ко­торые получались в случае стержневой модели; конические сечения, расположенные в плоскостях симметрии, при этом вообще не пробегают кривых некоторого софокусного семейства.

Так, подвижная модель круговых сечений трехосного эллипсоида всегда может быть превращена в шар; в этом случае сечение с каждой плоскостью симметрии дает окружность, между тем как в случае семейства софокусных эллипсов эллипс никогда не вырождается в окружность.

Так же как в случае стержневой модели, подвижность модели из круговых сечений допускает изменение формы модели вплоть до того, что поверхность переходит в дважды покрытый эллипс.

Несмотря на большое различие между обоими видами моделей, имеется переходный случай, связывающий ту и другую модель.

Именно, можно рассматривать подвижную стержневую модель гиперболического параболоида как предельный случай модели, составленной из круговых сечений, когда радиусы кругов бесконечно велики, т. е. круги превратились в прямые.

Если имеется семейство однополостных гиперболоидов, которые, изменяясь все больше, приближаются по виду к гиперболическому параболоиду, то окружности, расположенные на гиперболоиде, так же как и прямые, переходят в семейство прямых параболоида.

[6] Изменение формы различных фигур, расположенных на плоскости, при этом такое же, как при параллельной проекции плоскости на другую плоскость, наклоненную под некоторым углом по отношению к первой.


Страницы: Пред. 1 2 3 4 5 ... 7 След. Все

В начало

Содержание портала