Уважаемые посетители Портала Знаний, если Вы найдете ошибку в тексте, выделите, пожалуйста, ее мышью и нажмите Сtrl+Enter. Мы обязательно исправим текст!


Случайная цитата


Чтобы правильно задать вопрос, нужно знать большую часть ответа. (Шекли)

Наглядная геометрия

Цилиндр и конус; конические сечения и поверхности вращения, образуемые ими.

Простейшую кривую поверхность, именно круговой цилиндр, можно получить при помощи простейших кривых-окружности и прямой – следующим образом. Через одну из точек окружности проведем прямую, перпендикулярную к плоскости круга, и будем перемещать ее параллельно самой себе вдоль всей окружности.

Можно также получить круговой цилиндр, заставив одну прямую вращаться вокруг другой прямой, параллельной первой и служащей для первой прямой осью вращения.

Таким образом круговой цилиндр есть поверхность вращения. Поверхности вращения представляют важный тип поверх­ностей; они встречаются в практическом обиходе в виде стаканов, бутылок и т. д.

Все они могут быть охарактеризованы тем, что их можно получить путем вращения некоторой плоской кривой вокруг оси, лежащей в ее плоскости.

Рис. 9.

Плоскость, перпендикулярная к оси, пересекает круговой цилиндр по окружности; плоскость, наклонная к оси, дает в сечении, как в этом можно непосредственно убедиться, эллипсовид­ную кривую.

Покажем, что эта кривая есть действительно эллипс. Для этого возьмем шар такого диаметра, чтобы он в точности соответствовал внутренности цилиндра, и будем передвигать этот шар внутри цилиндра до соприкосновения с секущей плоскостью (рис. 9).

Точно такой же шар возь­мем с другой стороны секущей плоскости в также продвинем его до соприкосновения с плоскостью сечения. Шары соприкасаются с цилиндром по двум окружностям, а с плоскостью сече­ния имеют две точки соприкосновения и .

Соединим теперь произвольную точку кривой пересечения с точками и и рассмотрим образующую цилиндра, проходящую через точку .

Пусть она пересекается с окружностями соприкосновения ша­ров и цилиндра в точках и . Прямые и - каса­тельные к одному и тому же шару, проходящие через точку .

Все такие касательные имеют равную длину, что непосред­ственно следует из всесторонней симметрии шара по отношению к вращению. Таким образом имеем: и точно так же получаем: . Отсюда

.

Но расстояние не зависит от выбора точки на кривой вследствие симметрии фигуры по отношению к вращению. Сле­довательно, для всех точек сечения сумма расстояний от точек и одинакова, т. е. сечение представляет эллипс с фокусами и .

Мы можем сформулировать полученный результат как теорему о проекциях, а именно: тень круга, получающаяся на плоскости, наклонной к плоскости круга, при освещении круга лучами, перпендикулярными к его плоскости, представляет эллипс.

Следующей за круговым цилиндром простейшей поверхности о вращения является круговой конус.

Он получается при вращении прямой вокруг пересекающей ее оси.

Конус образуют все касательные, проведенные из одной и той же неподвижной точки к неподвижному шару, или все лучи, проектирующие круг

из некоторой точки, взятой на его оси (т. е. на прямой, проходящей через центр круга перпендикулярно к его плоскости).

Плоскость, перпендикулярная к оси кругового конуса, пересекает его по окружности; если же несколько наклонить секу­щую плоскость, то сечение превратится в эллипс. Это можно доказать, как и в случае кругового цилиндра, при помощи двух вспомогательных шаров, касающихся плоскости сечения.

Если секущую плоскость все больше наклонять, то эллипсы будут все больше вытягиваться; наконец, когда секущая пло­скость сделается параллельной одной из образующих конуса, кривая, получающаяся в сечении, уже не замыкается в конечной части плоскости. При помощи предельного перехода, аналогичного проведенному выше, можно убедиться, что эта кривая есть парабола.

Если дальше увеличивать наклон секущей плоскости, то она начнет пересекать и другую часть конуса, которую раньше не пересекала; кривая, получающаяся в сечении в этом случае, имеет вид гиперболы (рис. 10).

Чтобы доказать, что эта кривая есть в самом деле гипербола, поместим в обе полости конуса шары, которые соприкасаются как с конусом, таки с плоскости о сечения (в этом случае оба шара будут расположены по одну сторону от секущей плоскости, в то время как в случае эллипса они располагались по разные стороны).

Доказательство прово­дится в полном соответствии с проведенным ранее рассуждением.

Имеем (рис. 10) :

,

.

Рис. 10.

Итак, мы убедились, что всякое сечение конуса плоскостью, не проходящей через его вершину, представляет либо эллипс, либо параболу, либо гиперболу3.

Мы видим, что эти кривые имеют внутреннее сродство, в связи с чем они объединяются под общим названием конических сечений4.

К трем упомянутым «собствен­ным» коническим сечениям следует добавить в качестве «несобственных» предельные формы конических сечений, получаемые в том случае, когда секущая плоскость проходит через вершину конуса или когда ко­нус вырождается в цилиндр.

Таким образом в качестве выродившихся конических сечений следует принять: точку, прямую, «считаемую дважды», две пересекающиеся пря­мые, две параллельные прямые и пустую плоскость.

Конические сечения называются также кривыми второго порядка. Это название они получили потому, что в декартовых координатах они выражаются уравнениями второй сте­пени. Это свойство не может быть непосредственно наглядно сформулировано, но из него можно получить вполне наглядное следствие: коническое сечение не может пересекаться с прямой более чем в двух точках. Однако имеется много других кривых, обладающих тем же свойством.

В дополнениях к этой главе приводятся еще два геометрических факта, которые так же, как построение с помощью фокусов, ха­рактеризуют все невыродившиеся конические сечения. Это - построение при помощи подэры и свойства директрис.

После того как мы получили цилиндр и конус при помощи вращения прямой, естественно напрашивается мысль рассмот­реть поверхности, получающиеся при вращении конических сечений.

При этом будем выбирать ось вращения так, чтобы кони­ческое сечение располагалось симметрично по отношению к ней. Тогда части кривой, лежащие по обе стороны оси, переходят одна в другую после полуоборота, так что мы получаем един­ственную поверхность; при другом же расположении оси получилась бы гораздо более сложная фигура.

Так как эллипс имеет две оси симметрии, то он порождает две различные поверхности вращения.

В зависимости от того, будем ли мы вращать эллипс вокруг большей или меньшей оси, мы получим вытянутый (рис.11) или сжатый (рис.12) эллипсоид вращения.

Общеизвестным и часто приводимым примером последней поверхности служит Земля; приближенным приме­ром первой поверхности может служить куриное яйцо.

Рис. 11.

Рис. 12.

Задача от главного редактора: как вы думаете, почему Земля приняла форму сплюснутого эллипса?

Если уменьшать разницу в длине между большой и малой осями эллипса, то получим переходный случай между обоими эллипсоидами вращения.

В этом случае, когда обе оси станут равными, эллипс превратится в круг, и мы получим при вращении шар.

Так как шар симметричен относительно любого из своих диаметров, то его можно получить вращением бесчисленным множеством способов. В этом и состоит отличительное свойство, характеризующее шар: шар5 единственная поверхность, которую можно получить вращением более чем одним способом.

Парабола имеет лишь одну ось симметрии и дает единственную поверхность вращения - параболоид вращения (рис. 13).

Наоборот, гипербола порождает две различные поверхности вращения.

В зависимости от того, происходит ли вращение во круг линии, соединяющей фокусы, или вокруг перпендикулярной к ней прямой, проходящей через ее середину, мы получаем дву­полостный (рис. 14) или однополостный (рис. 15) гиперболоид вращения.

Рис. 13. Рис. 14. Рис. 15.

Здесь следует отметить тот поразительный факт, что на поверхности однополостного гиперболоида лежит бесконечное множество прямых; именно эту поверхность можно получить также путем вращения прямой вокруг другой прямой, не лежа щей с ней в одной плоскости (до сих пор мы познакомились лишь с такими поверхностями вращения, у которых ось лежит в одной плоскости с образующей кривой).

Рис. 16.

Рис. 17.

Доказательство этого может быть проведено только аналитическим путем. Однако можно непосредственно убедиться, что подобным построением можно получить эту поверхность двумя способами.

В самом деле, рассмотрим прямую (рис. 16), симметричную с пря­мой образующей нашу поверхность, по отношению к плоскости, проходящей через ось Прямая должна образовать при вращении ту же самую поверхность, что и прямая

В соответствии с этим однополостный гиперболоид вращения cодержит два семейства прямых, причем каждое семейство само по себе целиком покрывает всю поверхность, и прямые обоих семейств так расположены, что каждая прямая одного семейства пересекает каждую прямую другого семейства (или параллельна ей), между тем как две прямые одного и того же семейства расположены всегда в разных плоскостях (рис.17).

[3] Круг следует рассматривать как предельный случай эллипса.

[4] Итак, тень круга на любую плоскость есть коническое сечение, если источник света находится в какой-либо точке на оси круга. Что при этом

могут получиться гиперболы, можно видеть на примере конуса света авто­мобильной фары; в плоскости дороги он освещает внутренность одной ветви гиперболы. Так как каждую касательную к гиперболе можно рассматривать как тень касательной к окружности, то касательная к гиперболе имеет с ги­перболой только одну общую точку - точку прикосновения, как и было указано на с. 11.

[5] Здесь сохранена идущая от авторов терминологическая вольность: слово «шар» употребляется для обозначения сферы.


Страницы: Пред. 1 2 3 4 5 ... 7 След. Все

В начало

Содержание портала