Наглядная геометрия

Предисловие главного редактора Портала Знаний:

Мы предлагаем вашему вниманию замечательную книгу Гильберта и Кон-Фоссена "Наглядная геометрия".

Самым замечательным в этой книге является то, что сложные рассуждения можно увидеть зрительно и решение сложной задачи получается непосредственно из чертежа или графика. Традиция видения решения идет от древних греков.

Такие геометрические представления очень полезны в современной аналитике.

Мы дополнили книгу несколькими задачами, позволяющими читателю поупражняться в проведении рассуждений.

Надеемся, что чтение избранных глав этой прекрасной книги доставит удовольствие читателям.

Если читатель по-настоящему увлечется геометрией, то можно познакомиться с несколькими главами из книги Евклида, отрывки из которой тоже можно найти на нашем портале.

Предисловие автора

В нашей книге это очень часто проявляется. При большом разнообразии материала было все же необходимо придать каждой отдельной главе известную законченность и в последующих главах не предполагать полного знания предыдущих; путем отдельных маленьких повторений мы надеялись достигнуть того, что каждая отдель­ная глава, а иногда даже отдельные разделы представ­ляют интерес сами по себе и в отдельности доступны пониманию читателя. Пусть читатель прогуливается в ог­ромном саду геометрии, в котором каждый может соста­вить себе такой букет, какой ему нравится.

Основу этой книги составили четырехчасовые лекции «Наглядной геометрии», которые я читал зимой 1920/21 г. в Геттингене и которые обработал В. Роземан. В ос­новном содержание и построение их остались неизмен­ными. В деталях С. Кон-Фоссен многое переработал и частично расширил.

Давид Гильберт

Геттинген, июнь 1932 г.

Глава I

Простейшие кривые и поверхности

Плоские кривые

Простейшая поверхность — плоскость, простейшие кривые — плоские кривые, простейшая среди последних — прямая.

Пря­мую можно определить либо как кратчайший путь между двумя точками, либо как линию пересечения двух плоскостей, либо как ось вращения.

Следующей — в порядке возрастания сложности — кривой является окружность. Уже эта кривая послужила исходной точкой для столь многочисленных и столь глубоких исследований, что они могли бы сами по себе заполнить содержание целого курса.

Мы определяем окружность как кривую, все точки которой отстоят на равном расстоянии от данной точки. Мы получаем окружность общеизвестным по­строением при помощи циркуля или на­тянутой нити.

Рис. 2.

Самое построение наглядно показывает, что окружность есть замкнутая, на всем протяжении выпуклая кривая; по­этому через каждую точку окружности можно провести определенную прямую — касательную, имеющую с окружностью только одну общую точку, точку касания, а в остальной части лежащую целиком вне окружности (рис. 1).

Радиус МВ, проведенный в точку касания , должен быть кратчайшим расстоянием от центра М круга до касательной  ибо все точки последней, за исключе­нием точки касания, лежат вне круга и, следовательно, отстоят от центра дальше, чем точка касании.

Отсюда далее следует, что этот радиус перпендикулярен к касательной. Для доказатель­ства построим зеркальное изображение центра относительно прямой , т. е. опустим перпендикуляр из точки М на прямую  и продолжим его на равное расстояние до точки ; тогда  на­зывается зеркальным изображением точки . А так как есть кратчайшее расстояние от  до , то из соображений симметрии  также должно быть кратчайшим расстоянием от  до  

Следовательно,  должно быть кратчайшим расстоянием между  и , и, значит, линия  не может иметь излома в точке , т. е.  действительно является перпендикуляром к

Само собой напрашивается обобщение построения окружности, а именно: при построении окружности с помощью нити мы брали связанную нить, закрепляли ее конец в неподвижной точке, центре круга, и, натягивая нить, вычерчивали кривую.

Если же закрепить связанную нить не в одной, а в двух точках, то мы получим кривую, похожую на окружность, называемую эллипсом.

Точки закрепления нити называются фокусами эллипса.

Рис. 2.

Рис. 3.

Построение с помощью нити показывает, что эллипс можно оп­ределить как кривую, точки которой имеют постоянную сумму расстояний от двух данных точек.

Сближая фокусы, мы полу­чим окружность как предельный случай эллипса.

Задача от главного редактора: как вы думаете, если направить луч из центра окружности, куда он отразится, если окружность представляет собой зеркало?

Вы направляете луч из фокуса зеркального эллипса, куда отразится этот луч?

Представляя кривые зеркалами, попробуйте решить такие же задачи с другими кривыми, описанными в книге.

Всем упомя­нутым свойствам окружности соответствуют простые свойства эллипса.

Эллипс также замкнут, всюду выпуклый и имеет в каждой своей точке касательную, которая, за исключением точки касания, целиком лежит вне эллипса.

Радиусам окружности соответствуют в эллипсе две прямые, соединяющие точку эллипса с фокусами. Они называются радиусами-векторами точки эллипса.

Тому факту, что касательная к окружности перпендикулярна‚ радиусу в точке касания, соответствует в случае эллипса то, что касательная образует равные углы с радиусами-векторами, проведенными в точку касания.

Это утверждение означает, что на рис. 2:

Для доказательства (рис. 3) построим зеркальное изображение точки  относительно касательной и обозначим его. Прямая , которая пересекается с касательной в некоторой точке, есть кратчайшее расстояние между  и .

Следовательно,  есть кратчайший путь от  к , имеющий общую точку, с касательной, ибо для всякой иной точки  касательной  будет больше, чем .

С другой стороны, кратчайший путь между  и , имеющий общую точку с касательной, образуют радиусы-векторы, проведенные в точку касания , ибо всякая другая точка касательной, как расположенная вне эллипса, имеет большую сумму расстояний от фо­кусов, чем точка  эллипса; значит, точки  и  совпадают, а отсюда и вытекает наше утверждение, ибо  и  располо­жены симметрично относительно прямой , а  есть вертикальный для .

Это свойство касательной к эллипсу находит применение в оптике, чем и объясняется название «фокусы».

Именно, если поместить источник света в одном фокусе, толучи, зеркально отраженные от эллипса, со­берутся в другом фокусе.

Рис. 4.

Не так легко, как построение эллипса, хотя принципиально столь же просто, по­строение кривой, у которой разность рас­стояний ее точек от двух неподвижных то­чек постоянна.

Эта кривая называется гиперболой, а неподвижные точки - ее фоку­сами. Для каждой точки  или  кривой (рис. 4) должно удовлетворяться или соот­ношение , или .

Соответственно этому гипербола состоит из двух отдельных ветвей. Вид гиперболы наглядно показывает, что кривая эта всюду выпукла и имеет ка­сательную во всякой точке.

Ниже (с. 17, примечание) будет показано, что и в случае гиперболы касательная к кривой имеет с этой кривой только одну общую точку – именно точку прикос­новения. Так же, как и в случае эллипса, можно показать, что касательная к гиперболе делит пополам угол между радиусами-векторами, проведенными в точку касания (рис. 6, с. 13).

Из эллипса с помощью предельного перехода можно полу­чить новую кривую – параболу (рис. 5). Для этого оставим один фокус, например и ближайшую к нему вершину  эллипса неподвижными (вершинами эллипса называются точки пересечения кривой с прямой, соединяющей ее фокусы).

Будем теперь рассматривать эллипсы, получающиеся при перенесении второго фокуса все далее от точки на продолжение прямой ; эти эллипсы стремятся к некоторой предельной кривой, которая и есть парабола.

Из самого предельного перехода можно вывести простое определение параболы.

Именно, при вычерчивании эл­липса с помощью нити мы можем заметить, что если карандаш находится вблизи точки S (рис. 5), то при достаточно большом расстоянии между  и  отрезок нити, соединяющей карандаш с точкой , почти параллелен линии.

Следовательно, если в некоторой точке  прямой  восстановить перпендикуляр  к , то приближенно будем иметь:

(где — основание перпендикуляра, опущенного из точки  на прямую ). Если теперь ввести новую постоянную, равную

( имеет постоянное значение для каждой кривой), то будем иметь:

Это соотношение будет удовлетворяться с тем большей точностью, чем расстояние  , а для предельной кривой оно будет вполне точно.

Рис. 5.

Таким образом парабола есть кривая, для точек которой сумма расстояний от некоторой определенной точки и некоторой определенной прямой постоянна или (что приводит к тому же) такая кривая, точки которой отстоят на рав­ном расстоянии от некоторой постоянной точки и некоторой постоянной прямой.

Мы получим эту последнюю прямую, если про­ведем прямую, параллельную  и расположенную по другую сторону от точки  на расстоянии, равном : она называется директрисой параболы.

Если вообразить, что парабола представляет собой отражающее зеркало, то она должна отражать все лучи, падающие параллельно , в точку ; это также следует из предельного перехода.

Мы рассмотрели семейство эллипсов, имеющих общую вер­шину и общий ближайший к этой вершине фокус. Теперь рас­смотрим семейство всех эллипсов, имеющих общие фокусы.

Это семейство «софокусных» эллипсов покрывает плоскость одно­кратно и непрерывно, т. е. через каждую точку плоскости проходит одна и только одна кривая семейства; действительно, каждой точке соответствует вполне определенная сумма расстояний от этой точки до фокусов, и следовательно, каждая точка при­надлежит тому эллипсу, которому соответствует эта сумма расстояний ¹.

Рис. 6.

Возьмем еще семейство гипербол, имеющих эти же взятые нами точки в качестве фокусов. Это семейство также покрывает плоскость однократно и непрерывно². Так что через каждую точку плоскости проходят в точности две кривые системы, состоящей из софокус­ных эллипсов и гипербол (рис. 6).

В каждой точке (за исключением фо­кусов) касательные к проходящим через эту точку двум кривым — эллипсу и гиперболе — делят пополам угол между радиусами-векторами взятой точки и смежный с ним угол; следовательно, ка­сательные эти взаимно перпендикулярны.

Таким образом софокусные эллипсы и гиперболы образуют два «взаимно ортогональных семейства кривых» (два семейства называются ортогональными, если каждая кривая одного семейства пересекает каждую кри­вую другого семейства под прямым углом; угол пересечения двух кривых определяется как угол между касательными к этим кривым, проведенными в точке пересечения).

Теперь, чтобы получить наглядное представление о нашей системе кривых (рис. 7), начнем с прямой, перпендикулярной к отрезку , проходящей через его середину, и затем рассмотрим семейство гипербол.

Мы видим, что гиперболы становятся все более сжатыми и, наконец, переходят в полупрямые, служа­щие продолжением отрезка   вправо и влево.

При этом пло­скость целиком заполняется гиперболами.

Теперь мы переходим к самому отрезку , к которому непосредственно примыкают сперва очень сжатые эллипсы, кото­рые затем постепенно становятся все более округлыми и вместе с тем безгранично растут. Таким образом мы вторично заполняем всю плоскость.

Другой, и притом исключительно простой, пример взаимно ортогональных семейств кривых представляют концентрические окружности и прямые, проходящие через их общий центр. Эту систему можно получить из предыдущей путем предельного перехода, заставляя сближаться оба фокуса.

При этом эллипсы переходят в окружности, а гиперболы - в пары прямых. Линии уровня и линии наибольшего подъема на географиче­ских картах суть также ортогональные семейства.

Рис. 7.

Рис. 8.

Наконец, упомянем другое построение с помощью нити, приводящее к ортогональным семействам.

Возьмем конец нити, навернутой на какую-нибудь выпуклую кривую, например на окружность, и станем разматывать нить, все время натягивая ее (рис. 8). Тогда конец нити опишет «эвольвенту» окружности.

Эта кривая описывает один за другим витки вокруг окружности представляя собой, таким образом, спираль. Само построение наглядно показывает, что кривая перпендикулярна к одной из двух касательных к окружности, которые можно провести из какой-либо точки кривой.

Все последующие витки эвольвенты также пересекают эту касательную под прямым углом, причем отрезок касательной между двумя последующими витками эвольвенты имеет постоянную длину и равен как раз длине взятой окружности.

Можно получить бесконечное множество эвольвент той же самой окружности, если при разматывании нити начать с других точек окружности.

Но все эвольвенты могут быть получены так­же из одной эвольвенты путем вращения ее вокруг центра окружности. Семейство эвольвент покрывает всю плоскость за исключением внутренности круга однократно и непрерывно. Оно ортогонально к семейству полупрямых, касательных к окружности, взятых в определенном направлении обхода окружности.

И вообще для любого заданного семейства прямых ортого­нальное семейство состоит из эвольвент.

Образующая их кривая – та, которую (как в нашем примере окружность) огибают прямые заданного семейства.

Мы вернемся еще к этому в дифференциальной геометрии (гл. IV) и кинематике (гл. V).

В начало

Содержание портала