Начала Евклида. Книга 3. Свойства круга

Предисловие главного редактора Портала Знаний:

В книге Гильберта и Кон-Фоссена "Наглядная геометрия" большое внимание уделяется окружности.

Мы предлагаем вашему вниманию третью книгу Евклида, которая посвящена замечательным свойствам круга.

Круг самая гармоничная и равномерно плавная фигура, оставаясь неизменной, она символизирует движение.

Как говорят художники, самое трудное изобразить круг, возьмите в руку карандаш и попробуйте изобразить круг, конечно, без помощи циркуля, вы увидите, что это совсем непросто.

Очень трудно добиться равномерно плавного изменения формы, хотя именно таким образом можно зримо ощутить гармонию!

ОПРЕДЕЛЕНИЯ

1. Равные круги суть те, у которых диаметры равны или прямые из центра равны A). (Заметим, что у Евклида нет термина радиус - луч, поэтому он говорит о прямых, проведенных из центра.)
2. Утверждают, что прямая касается круга, если она встречает круг, но при продолжении не пересекает круга B).
3. Утверждают, что круга касаются друг друга, если они, встречаясь, не пересекают друг друга.
4. Утверждают, что в круге прямые равноотстоят от центра, если прямые перпендикуляры, проведённые к ним из центра, равны.
5. Утверждают, что отстоит больше та, на которую падает больший перпендикуляр C).
6. Сегмент круга есть фигура, заключающаяся между прямой и обводом круга.
7. Угол же сегмента тот, который заключается между прямой и обводом круга D).
8. Угол же в сегменте будет угол, заключающий между соединяющими прямыми, если взять какую-нибудь точку на обводе сегмента и соединить её прямыми с концами той прямой, которая является основанием сегмента.
9. Если же заключающие угол прямые отсекают какой-нибудь обвод, то говорят, что угол на него опирается.
10. Cектор же круга есть фигура, которая, если построить при центре круга угол, заключается между пряпрямыми, заключающими этот угол, и отсекаемым ими обводом.
11. Подобные сегменты кругов суть вмещающие равные углы или в которых углы равны между собой (определение 8).

Заметим, что вместо термина окружность (то, что окружает круг, Евклид использует термин обвод круга).

Предложение 1

Найти центр данного круга.

Пусть данный круг будет ABC; требуется найти центр круга ABC.

Проведём как-нибудь в нём некоторую прямую АВ, рассечём её пополам в точке D, из D под прямыми углами к АВ проведём DC (предложение 11 книги I), продолжим до Е и рассечём СЕ пополам в I (черт. 1). Я утверждаю, что I есть центр круга ABC.

Действительно, пусть не так, но, если возможно, пусть будет Н центром; соединим НА, HD, НВ. И поскольку AD равна DB, a DH общая, то две прямые AD, DH равны двум HD, DB каждая каждой; основание НА равно основанию НВ (ибо обе проведены из центра); значит (предложение 8 книги 1), угол ADH равен HDB.

Если же прямая, восставленная на прямой, образует смежные углы, равные между собой, то каждый из равных углов прямой (определение 10 книги I); значит, угол HDB прямой.

Но и угол IDB прямой; значит, IDB равен HDB — больший меньшему, что невозможно. Значит, Н не есть центр круга ABC.

Подобным образом докажем, что и никакая другая точка, кроме I.

Значит, точка I есть центр круга ABC.

Следствие

Из этого ясно, что если в круге какая-либо прямая рассекает другую прямую пополам и под прямым углом, то на секущей прямой находится центр круга — это и требовалось сделать.

Предложение 2

Если на окружности взять какие-либо две точки, то прямая, соединяющая эти точки, попадёт внутрь круга.

Пусть круг будет ABC и па обводе его взяты какие-либо две точки А, В. Я утверждаю, что соединяющая А с В прямая попадёт внутрь круга (см. чертеж).

Действительно, пусть не так, но, если возможно, пусть упадёт вне круга, как АЕВ; возьмём центр круга ABC (предложение 1), пусть он будет D; соединим DA, DB и продолжим DIE.

Поскольку теперь DA равно DB, то, значит, и угол DAE равен DBE (предложение 5 книги I); и поскольку в треугольнике DBE продолжена одна сторона ЛЕВ, то, зназначит, угол DEB будет больше DAE. Угол же DAE равен DBE; значит, DEB больше DBE.

Больший же угол стягивается большей стороной(предложение 19 книги 1); значит, DB больше DE. DB же равна DI.

Значит, DI больше DE, меньшая большей, что невозможно.

Значит, соединяющая А с В прямая не попадёт вне круга. Подобным вот образом

докажем, что и не на самый обвод; значит, внутрь.

Значит, если на обводе круга взять две какие-либо точки, то прямая, их соединяющая, попадёт внутрь круга, что и требовалось доказать.

Предложение 12

Если два круга касаются друг друга извне, то прямая, соединяющая их центры, пройдёт через точку касания.

Пусть два круга ABC, ADE касаются друг друга извне в точке А и пусть взяты круга АВС центр I, круга же ADE центр Н; я утверждаю, что прямая, соединяющая I с Н, пройдёт через точку касания А (см. чертеж).

Действительно, пусть это не так, но, если возможно, пусть она пройдёт как ICDH; соединим А1, АН.

Поскольку теперь точка I центр круга ABC, то IA равна IС. Далее, поскольку точка Н центр круга ADE, то АН равна HD.

Доказано же, что и IA равна IС; значит, IA, АН вместе равны IС, HD; так что вся IH больше IA, АН; но она и меньше (предложение 20 книги I), что невозможно.

Значит, соединяющая I с Н прямая не пройдёт вне точки касания А; значит, через неё.

Значит, если два круга касаются друг друга извне, то прямая, соединяющая их центры, пройдёт через точку касания, что и требовалось доказать.|

Предложение 14

В круге равные прямые равно отстоят от центра и равноотстоящие от центра равны между собой.

Пусть будет круг ABCD и в нём равные прямые АВ, CD; я утверждаю, что АВ, CD равно отстоят от центра (см. чертеж).

Действительно, возьмём центр круга ABCD и пусть он будет Е, и из Е к АВ и CD проведём перпендикуляры El и ЕН и соединим АЕ, ЕС.

Поскольку теперь некоторая проведённая через центр прямая El некоторую не проходящую через центр прямую АВ сечёт под прямыми углами, то она сечёт её и пополам (предложение 3).

Значит, AI равна IB; значит, АВ удвоенная AI. Вследствие того же вот и CD удвоенная СН, и АВ равна CD; значит, и AI равна СИ.

И поскольку АЕ равна ЕС, то н квадрат на АЕ равен квадрату на ЕС.

Но квадрату на АЕ равны квадраты на Л/, El <вместе>, ибо угол при I прямой (предложение 47 книги I); квадрату же на ЕС равны квадраты на ЕН, НС <вместе>, ибо угол при Н прямой; значит, квадраты на AI и IE <вместе> равны квадратам на СН, НЕ, из которых квадрат на AI равен квадрату на СН, ибо AI равна СН; значит, остающийся квадрат на IE равен квадрату на ЕН; значит, EI равна ЕН.

В круге же равноотстоящими от центра называются прямые, если проведённые из центра к ним перпендикуляры равны (определение 4); значит, АВ, CD равно отстоят от центра.

Но вот пусть прямые АВ, CD равно отстоят от центра, т. е. El равна ЕН. Я утверждаю, что и АВ равна CD.

Действительно, сделав те же самые построения, подобным же образом докажем, что АВ вдвое больше AF, a CD вдвое больше GH; и поскольку АЕ равна СЕ, то квадрат на АЕ равен квадрату на СЕ; но квадрату на АЕ равны квадраты на El, IA <вместе> (предложение 47 книги 1).

Квадрату же на СЕ равны квадраты на ЕН, НС <вместе>. Значит, квадраты на El, IA <вместе> равны квадратам на ЕН, НС; из них квадрат на EI равен квадрату на ЕН, ибо ЕА равна ЕН; значит, остающийся квадрат на AI равен квадрату на СИ; значит, AI равна СН; и удвоенная AI будет АВ, удвоенная же СН будет CD; значит, АВ равна CD.

Значит, в круге равные прямые равно отстоят от центра и равноотстоящие от центра равны между собой, что и требовалось доказать.

Предложение 17

Из данной точки к данному кругу провести касательную прямую линию.

Пусть данная точка будет А, данный же круг BCD; вот требуется из точки А к кругу BCD провести касательную прямую линию (см. чертеж).

Действительно, возьмём центр круга Е, соединим АН, и из центра Е раствором ЕА опишем круг AIH, и из D под прямыми углами к ЕА проведём DI и соединим ЕI, АВ; я утверждаю, что из точки А к кругу BCD проведена касательная АВ.

Действительно, поскольку Е — центр кругов BCD, AIH, то значит, ЕА равна El, ED же равна ЕВ; вот две <стороны> АЕ, ЕВ равны двум IE, ED; и они заключают общий угол при Е; значит, основание DI равно основанию АВ, и треугольник DEI равен треугольнику ЕВА, и остальные углы равны остальным (предложение 4 книги I); значит, угол EDI равен углу ЕВА.

Угол же EDI прямой; значит, и угол ЕВА прямой. И BE есть <прямая> «из центра»; прямая же, проведённая к диаметру круга под прямыми углами в концах, касается круга (предложение 16, следствие); значит, АВ касается круга BCD.

Значит, из данной точки А к данному кругу BCD проведена касательная прямая линия АВ, что и требовалось сделать.

Заметим, свойство перпендикулярности касательной к радиусу было известно уже другу Платона Архиту Тарентскому (1-я половина IV в. до н. э.).

В начало

Содержание портала